20 Hj. M kl lin. 



(27) lim z k F(z) = o, (<*<LC£ß). 



8. 



Zu dem bemerkenswerthesten Falle des obigen Satzes kommt man durch 

 die Annahme, dass die Zahlen m und n einander gleich sind. Da die durch 

 den so entstehenden Satz charakterisirten Functionen für die hypergeometrischen 

 Differentialgleichungen von besonderer Wichtigkeit sind, so mag der betreffende 

 Satz hier umständlich ausgesprochen werden. 



Nimmt man von einer monogenen Function an: 



I. dass sie eine Functionalgleichung 



F(e+i) = + ^ -gO-'^-g gW) = + B (z) F ^ 



befriedigt, deren Constanten o und 6 die Bedingung erfüllen, dass die 

 reellen Theile von q 1 , • • • , q„ algebraisch kleiner, die reellen Theile von o L , • • • , <>„ 

 aber grösser sind als eine gewisse reelle Zahl a; 



II. dass sie sich in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Innen/ und 

 auf der Begrenzung des Parallelstreifens («<£<« + 1) regulär verhält, wobei 

 a die unter I erwähnte Zahl bezeichnet; 



III. dass sie dem absoluten Betrage nach, nicht über jedes Mass wachsen 

 kann, wofern z auf den unter IL erwähnten Streifen beschränkt wird; 



so kann sie durch den ersteren oder letzteren der Ausdrücke 



! r(« - <?0 ■ • ■ r (z - q„) r(i + *!-*) ...r(i + *„ - *) q> («, « - 2) 



\ r(z - 9l ) • ■ ■*•(* - <?») r(l + a, - :) ■ • ■ T(l + a H - z) q> (z, n - l) 



dargestellt werden, je nachdem sie die Gleichung F(z + 1) = M(z) F(z) oder 

 F(s + 1) = — 22 (z) F (z) befriedigt; wobei unter den in cp vorkommenden Grössen 

 Ci, <%,•■■ keine zwei sich finden dürfen, deren Differenz eine ganze Zahl wäre. 

 Umgekehrt besitzen auch die Ausdrücke (28) alle obigen Eigenschaften, wenn 

 die hinsichtlich der Constanten q und 6 gemachte Voraussetzung erfüllt ist. 



Natürlich besitzen auch die Ausdrücke (28) die durch (27) angegebene 

 Eigenschaft. In dem ersteren dieser Ausdrücke kommen n — 1 , im letzteren n 

 unbestimmte Constanten A vor. 



9. 

 Jetzt kehren wir wieder zu den am Anfang des § zusammengestellten 

 allgemeinen Ausdrücken 



