Gamma- und hypergeometrische Functionen. 2] 



m -J- n = 2 & ; m + » = 2 & + i : 



JO(«)g.(*,p), (0(*)»(»,P-a), 



ie(*)9(*,!»-i). U(*)v(*,P-i). 



zurück, deren Constanten «,. ■ •■. «,„. o', . ■ ■ •, o„ also keinen Bedingungen unter- 

 ließen. Wir nehmen die Frage wieder auf, ob es dennoch nicht; wenigstens 

 für gewisse, unter den durch diese Ausdrücke dargestellten Functionen, einen 

 Parallelstreifen von der Breite Eins giebt, wo sie sich überall regulär verhal- 

 ten und somit auch alle die Eigenschaften besitzen, welche in der an der Spitze 

 dieses Abschnittes stehenden Aufgabe verlangt werden. 



Die Beantwortung dieser Frage lässt sich mit Benutzung des in £ 3 auch 

 für negative Werthe von X erklärten Zeichens qp (z, X) in kurzer und allge- 

 meingültiger Form geben. 



Nehmen wir einen gewissen Parallelstreifen (« <; f<^ « + i) in Betracht, 

 so wird derselbe, wie in § 6 gezeigt wurde, im Allgemeinen eine oder mehrere 

 der Unendlichkeitsstellen 



(30) o v , q v - i,-.-, q v —Jc,--- (v= i,2,...,m) 



(31) G v +l,G,, + 2,---,<t v + k,-.- (V = 1,2,...,»«) 



von G (2) enthalten. Soll sich dennoch ein Ausdruck der Form G(#)qp(d, X) 

 in dem fraglichen Streifen überall regulär verhalten, so muss über die Constan- 

 ten des trigonometrischen Factors qp so verfügt werden, dass derselbe an jeder 

 der im Streifen enthaltenen Unendlichkeitsstellen von wenigstens ebenso hoher 

 Ordnung verschwindet, wie G (z) unendlich wird. 



Es seien nun a Xl ■■■,a !l die sämmtlichen, in dem Streifen («<^£<;«+i) 

 liegenden Unendlichkeitsstellen von G (s), und es werde jede solche Stelle in 

 die Reihe a x ,--,a v , ebenso oft aufgenommen, als ihre Ordnungszahl angiebt. 

 Soll sich nun G (ja) cp (z , X) in dem Streifen überall regulär verhalten, so ist es 

 nach dem soeben Gesagten in Verbindung mit einem in § 3 bewiesenen Satze 

 nothwendig und hinreichend, über die Constanten des Ausdrucks qp (z , X) so zu 

 verfügen, dass derselbe in 



(f (2, X) — sin .t (: — a^) ■ ■ ■ sin st (3 — a )<p (z,X — /a.) 



übergeht, was nach demselben § auch als unbedingt möglich zu betrachten ist, 

 wenn man die daselbst gegebene erweiterte Definition von qp (s , X) acceptirt. 

 Hieraus ergiebt sich nun, dass alle in den Ausdrücken (29) enthaltenen Func- 

 tionen, welche in dem in Betracht genommenen Streifen («<£■<«+ sich 

 überall regulär verhalten, folgenderweise zusammengestellt werden können: 



