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22 Hj. Mellin. 



m + h — 2 k : 



I G (z) tp (z, p - p) sin st (z - a r ) ■ ■ • sin st (z - a) , 



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( (i (z) ip (z , p — fi — 1) sin st (t — a t ) • • • sin st (g — a„) . 



m + n = 2 & + l : 

 I G (O 9> (z , i> — J* — 2) sin sr (2 — «1) ■ • • sin st (z — a^) , 

 I G (z) ef (z,p — f* — i) sin sr (z — a,) • • ■ sin st (z — 0^) . 



Nach der in § 3 erweiterten Definition von q) (z , A) bezeichnet <p für ein 

 negatives X die ÅTmK. Das Auftreten eines tp mit negativem Index in irgend 

 einem der obigen Ausdrücke hat somit den Sinn, dass die entsprechenden Func- 

 tionen alle identisch gleich Null sind, oder dass, von der Null abgesehen, über- 

 haupt keine monogene Function mit den verlangten Eigenschaften existirt. 



Die Aufgabe, welche an der Spitze dieses Abschnittes steht, kann hiermit 

 als in allgemeinen Zügen gelöst betrachtet werden. Denn nach dem am An- 

 fang des § 6 Dargelegten sind in den Ausdrücken (29) sämmtliche, eine Func- 

 tionalgleichung F (z + 1) = + B (z) F (z) befriedigende monogene Functionen 

 enthalten, für die es überhaupt einen Parallelstreifen (« < £ < a + 1) giebt, wo 

 sie sich überall regulär verhalten und, nach Multiplication mit einer passenden 

 Potenz von z, dem absoluten Betrage nach nicht über jede endliche Grenze 

 wachsen können. Soeben ist nun auch eine einfache Methode angegeben wor- 

 den, durch welche in jedem vorkommenden Falle diese Functionen von anderen, 

 in denselben Ausdrücken enthaltenen abgesondert werden können. 



10. 



Die Erörterungen des vorigen § wollen wir noch unter besonderen Vor- 

 aussetzungen über die Lage des in Betracht kommenden Parallelstreifens fort- 

 setzen. 



Zu dem Ende bemerken wir Folgendes. Wenn eine beliebige, die Gleichung 

 F + 1) = B (s) oder F (z + 1) = - B (z) F (z) befriedigende Function F (s) 

 sich überall in einem gewissen Parallelstreifen («<g'<« + i) regulär verhält, 

 so verhält sie sich offenbar in derselben Weise in dem angrenzenden und nach- 

 folgenden Streifen (« -f 1 • \% < : + 2 )> wenn jener keine von den Grössen 

 öl , • • • , o'„ enthält. Ist also « grösser als die reellen Theile von (j : , • • • , 6„ , so 

 wird sich F (s) in der ganzen durch die Ungleichheit Ç > a definirten Halb- 

 ebene regulär verhalten, falls sie sich im Streifen («<£<«+ 1) regulär ver- 

 hält. — Ebenso ergiebt sich leicht, dass sich F(z), wenn sie sich überall im 



