Gamma- und hypergeometrische Functionen. 2)> 



Streifen (e <^ ?<a + i) regulär verhält, auch in dem angrenzenden und vor- 

 angehenden Streifen («— i; s k) in derselben AVeise verhält, falls in diesem 

 keine der Stellen q x , ■■■ , o„, liegt. Ist also insbesondere cc kleiner als die reel- 

 len Theile von q 1 , ■ ■ ■ . o,„ , so wird sich F (z) in der ganzen durch die Ungleich- 

 heit £<a+i defmirten Halbebene regulär verhalten, falls sie sich im Strei- 

 fen (rt < £ < u + 1) regulär verhält. 



Auf Grund dieser Bemerkungen hat es ein besonderes Interesse, die Erör- 

 terungen des vorigen § unter solchen Voraussetzungen über die Lage des in 

 Betracht kommenden Parallelstreitens wieder aufzunehmen, dass man dadurch zu 

 Functionen gelangt, die sich sogar in einer Halbebene überall regulär verhalten. 



Nehmen wir die Zahl a zunächst grösser an als die reellen Theile der 

 sämmtlichen Grössen q 1 , • • ■ , g m , 6 L , • • • , <?„ , so enthält der Parallelstreifen 

 («<£<«+ 1) ein Glied von jeder der Beihen (31), aber kein zu den Beihen 

 (30) gehöriges. Soll sich nun ein Ausdruck G (z) y (s , X) überall in diesem 

 Streifen, und somit auch überall in der durch die Ungleichheit 'Ç > a defmirten 

 Halbebene regulär verhalten, so ist es vermöge des schon im vorigen § be- 

 rufenen Satzes des § 3 nothwendig und hinreichend, die unbestimmten Constan- 

 ten des Ausdrucks y solchen Einschränkungen zu unterwerfen, dass er in den 

 Ausdruck sin % (z— dj) • • ■ sin n (z — o'„) 9 (z, X — n) übergeht. An Stelle der 

 Ausdrücke (32), (33), die sich im vorigen § ergaben, erhalten wir also in dem 

 gegenwärtigen Falle die mehr speciellen: 



m + n — 2 Je : 



I Ci (:) <f (s,P — n) sin st [z — tfj) . . . sin st (z — <r„) , 

 I G (2) q (z,p — n — l) sin sr\(z — tf x ) • •■ sin st (.:• - a„) . 



m + n = 2 k -+■ l : 



G (z) (f(z,p — n— 2) sin st (z — a x ) ■ ■ ■ sin st (z — <r„) , 



G (z) <p (z.p — « — l) sin st (2 — Oi) • • ■ sin st (z — g„) . 



An die Stelle der durch die Bedingung p > "~ >p- 1 defmirten ganzen Zahl 

 p wollen wir eine durch die Bedingung q > '~ > q — 1 in eindeutiger Weise 

 defmirte (positive oder negative) ganze Zahl q einführen. Aus p>-t">p — 1 

 ergiebt sich p - n > ^ >p-n-\. Somit ist q-p-n. Werden sin n (z - dj) , 

 • • • , sin ,7 (z — o„) und G (s) durch die Gammafunction ausgedrückt und statt p 

 die Zahl q in die obigen Ausdrücke eingeführt, so bekommt man die Zusam- 

 menstellung-: 



