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Hj. Mellin. 



(34) 



m + n = 2 /,-. 



r( s - Ql )...r(z-Q m ) 



r( g -e t )...r(s-a n ) 



v(z,q), 



r(z-Q l )...r(z-Q m ) 



r(z-a l )...r(e-o H ) 



k<p(l!,q-l). 



(35) 



/ -- m—n ^ \ 



(î^-r->î — i). 

 9 (*,? -2), 



Erinnern wir uns des Sinnes und der Eigenschaften der in (29) zusam- 

 mengestellten Ausdrücke und bedenken wir. vermöge welcher hinzugefügten 

 Bedingungen dieselben in die Ausdrücke (34), (35) übergegangen sind, so haben 

 wir den Satz: 



Weiss man von einer monogenen Function: 



1. dass sie eine von den Functionalgleichungen befriedigt: 



F(z + 1) = + (*-9i)---( g -g« ) F {z) = + R (z) F(s) ; 



IL dass sie — unter « die im algebraischen Sinne grösste, unter den 

 reellen Theilen von q u ■■■, Q m zu findende Zahl verstanden - - im Innern der 

 durch die Bedingung £ > a definirten Halbebene sich überall regulär verhält ; 



III. dass sie — wofern z = £ + i'Ç' auf einen beliebigen, innerhalb der 

 genannten Halbebene gelegenen, zur imaginären Axe parallelen Streifen von 

 endlicher Breite beschränkt wird — nach Multiplication mit einer passenden 

 Potenz von s dem absoluten Betrage nach nicht über jede endliche Grenze 

 wachsen kann; 



so lässt sie sich, falls m + n und somit auch m — n eine gerade Zahl ist, 

 durch einen der Ausdrücke (34), falls m + n aber ungerade ist, durch einen der 

 Ausdrücke (35) darstellen, und zwar durch den jedesmaligen ersteren oder 

 letzteren, je nachdem sie die Gleichung F(z + 1) = (— i)* B (z) F(z) oder 

 F(z + i)r=(— 1)*- 1 E(g) F{z) befriedigt. Umgekehrt besitzen auch die so 

 definirten Ausdrücke (34), (35) die unter I, n, III erwähnten Eigenschaften. 



Ist m<n, so werden die Indices der Symbole cç stets negativ, was den 

 Sinn hat, dass es, von der Null abgesehen, überhaupt keine Functionen giebt. 

 welche die sämmtlichen Eigenschaften I. II, III besässen. 



