G-amma- und hypergeomeirische Functionen. 



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Ist m = n, so sind die Formeln (34) in "Betracht zu nehmen. Da q = o 

 ist, so ist <p(z,q) eine unbestimmte Constante und <p (s, q — 1) o. 2?s ü< «/so 



(36) 



r(*- *,)••• />-*„) 



6*s a«/" einen (anstauten Factor die emsige, die Gleichung 



F(z + l) = 



(«■ — ff,).(Ä — tf„) 



F(s) = R(z)F(e) 



befriedigende Function, welche ausserdem die Eigenschaften II und III besitzt: 

 und es giebt, von der Null abgesehen, keine der Gleichung F(e+i) = - R(z)F(z) 

 genügende Function, welche überdies die Eigenschaften II und III besässe. 

 Das Verhalten des Ausdrucks (36) für unendlich grosse, einem zur imaginären 

 Axe parallelen Streifen angehörige Werthe von z wird durch die aus (9) fol- 

 gende Gleichung angegeben: 



rjz - Ql ) ■ ■ - r (*-?») _ 

 r(z-G 1 )...r(z-a n ) 



•+<t» — Qi — 



o„ ist und 6 eine unendlich kleine Grösse be- 



wo Z = <»!+• 



zeichnet, 



Für den Fall, dass m > n ist, wollen wir den Satz im folgenden § noch 

 weiter erörtern. 



Fragt man nun auch nach solchen, eine Gleichung F(js+i) = + R(/)F(s) 

 befriedigenden Functionen, die sich in einer die unendlich grossen negativen 

 Zahlen enthaltenden Halbebene ebenso verhalten, wie die durch den vorange- 

 henden Satz charakterisirten Functionen in einer die unendlich grossen positiven 

 Zahlen enthaltenden, so erhält man für dieselben offenbar die Ausdrücke: 



m + n = 2 k: 



(37) 



r(n. tfl - # )...r(i + tf.-,) 



r(i +Ql - 2 )...r(i + Qm -z) (f>[ -^ s} > 



r(i + a l -z)... r(i + g„-z) 



r(i + ft -#)...r(i + q„ 



m + n = 2k + 1 : 



«) 



(38) 



l/\i + ?1 _*)... r(i +? M -z) 



ejp(s,s- 1). 



(p(z,S-2), 

 </>(*, s - 1). 



