26 Hj. M ellin. 



wo die ganze Zahl s durch die Bedingung s > — - > s - i eindeutig defi- 

 nirt ist. 



Diese Ausdrücke wollen wir indess keiner besonderen Discussion unter- 

 ziehen, da sie offenbar durch die Substitution (— s,z) in solche Functionen 

 übergehen, welche durch den früheren Satz schon charakterisirt worden sind. 



11. 



Wie aus dem Satze des § 6 der Satz des § 7 dadurch hervorging, dass 

 eine von den Voraussetzungen jenes Satzes gesteigert wurde, so gestaltet sich 

 auch der Satz des vorangehenden § einfacher, wenn wir die Voraussetzung III 

 dahin schärfen, dass die betreffende Function — auch wenn man sie nicht mit 

 einer Potenz multiplicirt — dem absoluten Betrage nach unter einer endlichen 

 Grenze bleiben soll, wofern z auf einen beliebigen, in der unter II erwähnten 

 Halbebene befindlichen, zur imaginären Axe parallelen Streifen beschränkt wird. 



Aus den schon am Anfang des § 6 zusammengestellten Ausdrücken (17) 

 sind die Ausdrücke (34), (35) dadurch hervorgegangen, dass die unbestimmten 

 Constanten jener Ausdrücke gewissen Einschränkungen unterworfen worden 

 sind. Von den Ausdrücken (34), (35) gilt daher Alles, was am Anfang des 

 § 7 über die Ausdrücke (17) gesagt wurde. Somit haben, falls m + n unge- 

 rade ist, die beiden Ausdrücke (35) und, falls m + n gerade ist, der letztere 

 von (34) die Eigenschaft, dass sie, sogar nach Multiplication mit einer beliebig 

 hohen Potenz von z, sich der Null nähern, wofern s in einem zur imaginären 

 Axe parallelen Streifen endlicher Breite sich ins Unendliche entfernt. Der 

 absolute Betrag des ersteren Ausdrucks (34) lässt sich aber für solche Werthe 

 von s auf die Form (22) bringen, woraus sich ergiebt, dass derselbe, wenn 

 m > n ist, für hinreichend grosse Werthe von 'Ç und bei unbestimmten Werthen 

 von A , ■■■, A q mit wachsendem | f unendlich wird. Wünschen wir also, dass 

 der absolute Betrag des betreffenden Ausdrucks in jedem Parallelstreifen, der 

 die am Anfang dieses § angegebene Lage hat, unter einer endlichen Grenze 

 bleiben soll, so müssen die unbestimmten Constanten von er (z , q) solchen Ein- 

 schränkungen unterworfen werden, dass cp (z , q) in <p (z , q — 2) übergeht, was 

 sich auch leicht als eine hinreichende Bedingung erweist. Hierdurch geht also 

 der Satz des vorigen § in den folgenden über: 



Weiss man von einer monogenen Function: 



I. dass sie eine von den Functionalgleichungen befriedigt: 



