Gamma- und hypergeometrische Functionen. 27 



IL dass sie — unter a die im algebraischen Sin in 1 grösste unter den 

 reellen Theilen von q 1 ,--,q„ zu findende Zahl verstanden — im Innern der 

 durch die Bedingung £> a definirten Halbebene sich überall regulär verhält. 



[IL. dass sie dem absoluten Betrage nach nicht über jede endliche Grenze 

 wachsen kann, wofern z auf einen beliebigen, innerhalb der genannten Halb- 

 ebene gelegenen, zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite 

 beschränkt wird; 



so lässt sie sich durch den erstcren oder letzteren der Ausdrücke 



(39) 



r(g- gl )...r( g - gM ) 

 r( g -a l )...r(z-« H ) 9( *> q 2) 



r(z- Çl )...r(2- Çm ) 



Gz2^>ä-i) 



darstellen, je nachdem sie die Gleichung F (z + 1) — (— i) q B (z) F (z) oder 

 F(z+i) (— i) ï_1 B (z) F {z) befriedigt. Umgekehrt besitzen auch die obigen 

 Ausdrücke die unter I, IL, LLI erwähnten Eigenschaften. 



Die obigen Ausdrücke besitzen aber, wie aus dem Obigen nicht schwer 

 zu finden ist, noch die Eigenschaft, dass sie, mit einer beliebig hohen Potenz 

 von 2 = Ç+iÇ > multiplicirt, mit wachsendem | £' ' gleichmässig gegen die Null 

 convergiren, wofern f auf ein beliebiges endliches Intervall beschränkt ist: 



lim z k F(z) = o, (a£C^ß). 



r=±*> 



Wenn die Grössen Q t , •••, q„, 6 1} •••, 6„, welche in diesem Satze keinen 

 Beschränkungen unterliegen, in besonderen Fällen die Bedingung erfüllen, dass 

 die reellen Theile von ?i , ■ • • , q,„ algebraisch kleiner, die reellen Theile von 

 <>!,•■•,(»„ aber grösser sind, als eine gewisse reelle Zahl «, so sind offenbar 

 die durch den obigen Satz charakterisirten Functionen unter denen enthalten, 

 die durch den Satz des § 7 schon charakterisirt worden sind. 



Ahnliches gilt von dem Ausdrucke (36) mit Rücksicht auf den Satz des § (5. 



