II. 



Über bestimmte Integrale, die längs geraden Linien über (laininafunctionen 



ausgedehnt sind. 



12. 



Im vorhergehenden Abschnitte haben wir eine Menge die Gleichungen 

 F (2 + 1) = + R(z) F(z) befriedigende Functionen kennen gelernt, für die es 

 ausserdem einen zur imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins 

 giebt, wo sie sich überall regulär verhalten und, nach Multiplication mit einer 

 passenden Potenz von s, dem absoluten Betrage nach nicht über jede endliche 

 Grenze wachsen können. Unter diesen Functionen sind am bemerkenswerthe- 

 sten diejenigen, welche die letztgenannte Eigenschaft besitzen, ohne dass sie 

 mit einer solchen Potenz multiplicirt zu werden brauchen. Hierzu gehören 

 zunächst alle durch die Sätze der §§ 7, 8 und 11 charakterisirten Functionen. 

 Bei Gelegenheit jedes dieser Sätze wurde hervorgehoben, dass die betreffenden 

 Functionen überdies noch die Eigenschaft besitzen, dass sie, sogar nach Multi- 

 plication mit einer beliebig hohen Potenz von s = f + i £', mit wachsendem £ 

 gleiclimässig gegen die Null convergiren, wofern £ auf ein beliebiges endliches 

 Intervall beschränkt wird; was so bezeichnet werden soll: 



(40) lim s* F(z) = o, (« £ £ < ß) . 



Durch die genannten Sätze sind aber alle Functionen des vorigen Abschnittes 

 noch nicht erschöpft, welche in irgend einem Parallelstreifen («<g'<;«+i) 

 sich überall regulär verhalten und ausserdem die Eigenschaft (40) besitzen 

 Functionen dieser Art sind offenbar auch, falls m+n ungerade ist, die in § 9 

 vorkommenden allgemeinen Ausdrücke (33)- Hierzu gehört ferner, falls m+n 

 gerade ist, der letztere Ausdruck (32) und ebenfalls der erstere für den Fall, 



