Gamma- und hypergeometrische Functionen. 29 



dass q> (#,p— f») durch Einschränkung der unbestimmten Constanten in 



<f(z,p — 11 —2) übergeführt wird. Almliches gilt von den Ausdrücken (34), (35), 

 da sie als specielle Falle von den resp. Ausdrücken (32), (33) betrachtet werden 

 können. Dass alle erwähnten Ausdrücke in der That die Eigenschaft (40) be- 

 sitzen, folgt aus dem, was in den §§ 4 und 5 über die Ausdrücke (17) dar- 

 gestellt worden ist, wovon alle oben genannten Ausdrücke nur specielle 

 Fälle sind. 



Von besonderer Wichtigkeit für die Theorie der hypergeometrischen Diffe- 

 rentialgleichungen werden sich nun gerade die oben hervorgehobenen Gamma- 

 functionen erweisen, welche in irgend einem Parallelstreifen (« < 'Ç< « + 1) sich 

 überall regulär verhalten und überdies noch die durch (40) bezeichnete Eigen- 

 schaft besitzen. Wie aus dem oben Gesagten und den citirten §§ zu finden 

 ist, sind sie alle in den allgemeinen Ausdrücken 



(41) G (s)<p (e,p -2) = r(g-c 1 y...r(z-Q m )r(i + c 1 -e)...r(i + <t n - g )<p(ä,p-2 l ) 



(42) G(,~) <p (8, P -i) - r(z- Ql )...r(z- Qm ) r(i + ffl -*)...r(i + <r„ - e ) < ( (e,p- 1) 



enthalten, wo die ganze Zahl p die Bedingung p > '—- > p - 1 erfüllt und </ 

 durch (6) erklärt ist. Umgekehrt geht aus den §§ 4 und 5 hervor, dass diese 

 Ausdrücke, welche die resp. Gleichungen 



F(z + l) = (- l)«+* B, (0) F(z), F(* + 1) = (- 0-+*- 1 11 (*) F{z) 



befriedigen, stets auch die Eigenschaft (40) besitzen. Damit es aber noch einen 

 Parallelstreifen von der Breite Eins gebe, ^\ T o sie sich überall regulär verhal- 

 ten, ist es im Allgemeinen nötig, die unbestimmten Constanten von <p gewissen, 

 im vorigen Abschnitte ausführlich erörterten Einschränkungen zu unterwerfen. 

 Genauer, als es durch (40) geschieht, kann das Verhalten der Ausdrücke 

 (41), (42) für unendlich grosse, einem beliebigen zur imaginären Axe parallelen 

 Streifen angehörige Werthe von s durch die folgende mit Hülfe der Formel 

 (14) sich ergebende Gleichung charakterisirt werden 



(43) l«(*)9>(M)l = 



|^+(--ott-M|. fl " ' .1 Ao + A^otgxiz-d) + ...{. x(£,n, 



wo X=p — 2 oder k=p— 1 zu setzen ist, je nachdem es sich um den erste- 

 ren oder letzteren der Ausdrücke (41); (4 2 ) handelt. Wie in der Formel (14), 

 bezeichnet auch hier ^ (£,£') eine positive Variable, welche mit wachsendem 

 [g'| gegen eine endliche, von Null verschiedene und von £ unabhängige Grenze 



