Gamma- und hypergeometrische Functionen. M 



ausgedrückten Eigenschaft unserer Function F{iv) nähern sich dabei das zweite 

 und vierte Integral, d. h. die längs den zur reellen Axe parallelen Seiten er- 

 streckten Integrale, beide der Grenze Null, während die beiden anderen eben- 

 falls gegen gewisse endliche Grenzwerthe eonvergiren. Auf diese Weise wird 

 F(z), nachdem noch die Grenzen des ersten Integrals gegen einander vertauscht 

 worden, dargestellt in der Form 



<i-Noo b+iao 



, \ n/ -i 1 C F ( W ) J , 1 C F i lV ) .1 



(44) F (s) = -— -, — *-*• dw + : — ■ — ^^ d tv , 



V ' V ' loti J Z — IV "iSTl J W — Z 



a— iQO '<— i'oO 



a< a<z <b<a -{■ i , 



wobei das Ungleichheitszeichen in dem erweiterten Sinne gebraucht wird. Im 

 ersten Integrale ist also bei der Integration z-w>o, im zweiten aber w — z>o. 

 Der Gültigkeitsbereich der Gleichung (44) ist zunächst ein sehr beschränk- 

 ter. Betrachten wir aber die Integrale 



a + i S. 



(45) P(z) = — -. f -- dw , s > a , 



a — i 00 



(u<a<b<a + 1) 



b + » 00 



(46) Ö(#)= _JL. f £&*., e<h , 



b—i 00 



jedes einzeln für sich, so ergiebt sich, dass das erste Integral in der ganzen 

 durch die Ungleichheit z > a definirten Hälfte der -s-Ebene nicht nur einen 

 bestimmten Sinn hat, sondern auch eine gewisse monogene, daselbst regulär 

 sich verhaltende Function von z darstellt. In ähnlicher Weise verhält sich das 

 zweite Integral in der durch die Ungleichheit z < b eharakterisirten Halbebene. 

 Die Richtigkeit dieser Behauptungen folgert man in bekannter Weise aus der 

 durch (40) ausgedrückten Eigenschaft von F(iv). 



Es soll nun gezeigt werden, dass P (s) und Q (z) sehr einfache Functio- 

 nalgleichungen befriedigen, mit deren Hülfe sie ausserhalb ihrer ursprünglichen 

 Gültigkeitsbereiche analytisch fortgesetzt werden können. 



Wir betrachten zunächst das Integral P(z), dessen Gültigkeitsbereich, 

 geometrisch gesprochen, mit der durch die Ungleichheit z > a eharakterisirten 

 Hälfte der s -Ebene zusammenfällt. Vorausgesetzt, dass z die Ungleichheit 

 z > « + 1 befriedigt, d. h. dass z einen im Gültigkeitsbereiche des Integrals, 

 aber ausserhalb des Parallelstreifens («<£<«+ 1) liegenden Werth besitzt. 



