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so ändert das Integral seinen Werth nicht, wenn der Integrationsweg in dem 

 genannten Streifen beliebig verschoben wird; insbesondere soll sein 



or+>oo tt+1-W'jo 



i c F(iv) , i c F ( w ) i 



K *' J 2X1 J — W 2X1 J 8 — IV 



et— i <x> tt+l—icc 



Erstreckt man nämlich das Integral 



i c F(w) , 



— . v ' dw z > « + i 



2xiJ z—w 



zunächst längs der Begrenzung eines Rechtecks mit den Eckpunkten a + i oj , 

 k + i + i ra , so ist dessen Werth gleich Null. Lässt man hierauf a ohne Ende 

 wachsen, so nähern sich die längs den zur reellen Axe parallelen Seiten er- 

 streckten Integrale der Grenze Null, so dass die Gleichung (47) sich in der 

 That ergiebt. Der Integrationsweg der rechten Seite von (47) kann durch die 

 Substitution w =v + 1 in den der linken Seite transformirt werden. Zugleich 

 wollen wir statt v wieder iv als Zeichen für die Integrationsvariable herstellen 

 und bekommen auf diese AVeise 



n+iao 

 — . f — 



w Isti J z — w 2x1 J z — (w+i) 



Hieraus ergiebt sich nun mit Benutzung der Functionalgleichung F(w+i) 

 = ±B(w)F(w): 



(48) P(. + 1) = XTzte^ ä,r =p- a+ f*W-R(w) äw 



^ ' v 2X1 J Z — W 2Xt J Z — W 



et — "'00 a — i'oo 



a+ioc a+i'oo 



+ JR(ä) r F(«) , , +1 C F(ir) D/Y.J 



2X1 J Z — W 2X1 J z — /c L v ' w 



or— «oo «—»00 



Es wird sich nun leicht ergeben, dass das zweite Integral der rechten 

 Seite eine rationale Function von z ist. Der Bequemlichkeit halber sei die 

 Gradzahl des Zählers von B (z) nicht grösser als die des Nenners (m<n). 

 Alsdann hat man, je nachdem m — n oder m<n ist: 



(49) 



■n n 



