Gamma- und hypergeometrische Functionen. 33 



vorausgesetzt zugleich, dass unter den Grössen i>i , • • • , ö„ keine zwei gleiche 

 sich finden, was ebenfalls zunächst angenommen werden soll. Aus (49) er- 

 giebt sich 



H 



B 



1 (W) - B 0) = - (g - W) y -. =^ r 



Setzt man diesen Ausdruck in die Gleichung (48) ein, so nimmt das zweite 

 Glied der rechten Seite die Form an 



a+1'00 „ a+itx) 



-U f *M [B(M . ) _B W]rffr = __LV_BL CiM 

 2x1 z—w K ' w 2sti£uz — a x J a x —w 



a— »co 



was eine durch Partialbrüche dargestellte rationale Function von z ist. Die 

 Gleichung (48) erhält somit die Gestalt 



n a + i'cO 



(50) P(m +\) = + R(z)P(z)+Y -A- -i-. f ^- dw . 



V ' V W W ' ZjS — ff, 2STÎ I ff, — IV 



ft a— 100 



Die in der Form von bestimmten Integralen auftretenden Constanten dieser 

 Functionalgleichung sind offenbar specielle Werthe der Functionen P (z) und 

 Q {z) , und zwar ist 



(so ±7ëM dw J + p M> «*>«' 



»*»J *x-« l-ö(ff,), ,,<«, 



or— «co 



je nachdem der reelle Theil von 6 X grösser oder kleiner als « ist. Da F(z) 

 nach miserer Voraussetzung in der Umgebung jeder endlichen Stelle nicht nur 

 im Innern sondern auch auf der Begrenzung des Streifens («^f<;« + i) sich 

 regulär verhält, so können wir, falls eine oder mehrere der Grössen 0, , • ■ • , 6„ 

 auf der Begrenzung liegen würden, durch eine hinreichend kleine Verschiebung 

 des Streifens von vorneherein bewirken, dass keine von ihnen mehr auf der 

 Begrenzung liegt, während das Verhalten von F (z) im Innern und an der 

 Grenze des Streifens dasselbe bleibt wie früher. 



In dem allgemeineren Falle, wo unter ö, , • • ■ , i>„ auch gleiche Grössen sich 

 finden, hat man, falls m < n ist: 



B (*) = 1 + Y r ~ a ^ oder B(z) = y J^- , 



