36 Hj. Mellin. 



(58) P(z) = ±^p± S (z), 



wo s (z) eine rationale Function bezeichnet, welche auf die Form gebracht 

 werden kann: 



. . o 4 «! z M \- a„,-i z"— 1 



S (Z) = t c y v . 



Aus den Gleichungen (54) und (58), von denen die erstere der Einfachheit 

 halber unter der Voraussetzung m < n , die letztere unter der Voraussetzung 

 m > 11 hergeleitet worden ist, findet man, dass P (2) jedenfalls eine Functional- 

 gleichung der Form 



(59) P(z+l) = ±R(z)P(z) + r(z) 



befriedigt, wo r (z) eine mit R (z) gleichnamige rationale Function bezeichnet, 

 deren Zählers Gradzahl kleiner ist als diejenige der Zahlen m und n, die nicht 

 kleiner ist als die andere 



Wir wissen schon, dass die Function P(V) in der durch die Ungleichheit 

 s > a {ce < a < a + 1) definirten Halbebene sich überall regulär verhält. Ver- 

 möge der obigen Functionalgleichung ergiebt sich nun leicht, dass P (2) auch 

 in der durch die Ungleichheit z < a charakterisirten Halbebene den Character 

 einer rationalen Function besitzt, indem sie höchstens an den Stellen 



Q in Q/i- l ' ■ • ' . fy- Jc » • ■ ' (/* = 1, 2, ... , m) 



unendlich werden kann. 



Stellt man die Gleichung (59) mit den Gleichungen F(z+i) = ±R(z)F(z), 

 F(z)= P (z) 4- Q (z) zusammen, so folgt, dass Q (z) der Gleichung 



(60) Q(* + i) = ±R(*)Q(*)±r(») 



Genüge leistet und höchstens an den Stellen 



^+l»^ + 2,..-,tf /t + Ä,..- (fl= 1,2,...,«) 



unendlich werden kann. 



Das Schlussergebniss dieses § ist, dass jede beliebige in der Form (41) 

 oder in der Form (42) darstellbare Function F (z), für die es zugleich einen 

 zur imaginären Axe parallelen Streifen (« < £<; «+ 1) giebt, wo sie sich über- 

 all regulär verhält, als Summe zweier neuen Functionen P (z) und Q (z) dar- 

 gestellt werden kann, welche die resp. Functionalgleichungen (59) und (60) be- 



