Gamma- and hypergeometrische Functionen. 37 



friedigen, wo r (V) eine rationale Function der oben angegebenen Beschaffenheit 

 bezeichnet. 



In den £§ 16, 17, 18 werden wir die Functionen P(z) und Q{z) unter 

 besonderen Voraussetzungen sowohl über die Zahlen m und n wie über die 

 Lage des Parallelstreifens (a<Ç<a+i) eingehender erörtern. Ohne aber 

 noch die Allgemeinheit der Untersuchungen zu beschränken, wollen wir eine 

 eben hier sich darbietende Gelegenheit ergreifen, um von den (iammafunctionen 

 in ungezwungener Weise zu den hypergeometrischen Functionen zu gelangen. 



14. 

 Zu dem Ende betrachten wir die Gleichung (44): 



ll + irc ll + iao 



(61) *» = -i, p«tf w + -L CZ&d«, 

 K ' w 2sti J S — W 2 st t J W — S 



ft— ICO b— i'GO 



a<^a<z<b<,a + 1 , 



deren Gültigkeitsbereich durch die obigen Ungleichheiten charakterisirt ist, 

 wobei das Ungleichheitszeichen in dem, in § 12 festgesetzten, erweiterten Sinne 

 gebraucht wird. Im ersten Gliede der rechten Seite ist während des Laufes 

 der Integration s — w>o, im zweiten aber w-s>o. Je nachdem nun aber 

 s — w>o oder w — s>o ist, kann man setzen 



1 00 



1 C s— w— 1 ; ! C *— w-1 ; 



= I x ax, — I x ax . 



s -tv J w-z J 



O 1 



Führt man diese Integrale in (6i) ein, so bekommt man 



i «+IGO œ b+:<*> 



(62) F(«) = jx- 1 *^ J F^x-dw+jx'- 1 ^-. j' F(»)*r»dw, 



b—i'V 



vorausgesetzt, dass die Umkehrung der Integrationsordnung erlaubt ist, Avas 

 sich in der That nachweisen lässt. Überdies lässt sich aber noch zeigen, dass 



6 + 100 



f F(w) x-"' dw = f F(/r) .,'" </,r 



«— iOO /' — 100 



Aus (62) folgt dann weiter 



