38 Hj. Mellin. 



rt-t-iao 



-i dx 



(63) F (s) = JV" 1 ~ C F(w) x-"> d w = fo (z; a) z*' 1 dz , 



a— 1 00 



so dass wir zur Untersuchung des von s unabhängigen Integrals 



rt+l'OO 



(64) O (z; a) = — . P F (h) x~ w div 



in ungezwungener Weise veranlasst werden. 



Der Gültigkeitsbereich des Integrals (64), als Function von x betrachtet, 

 soll zunächst ermittelt werden. 



Da F(z) unserer Festsetzung gemäss entweder eine in der Form (41) oder 

 eine in der Form (42) darstellbare Function bezeichnet, so gilt von ihr Alles, 

 was bei Gelegenheit der Gleichung (43) gesagt worden ist. Setzen wir nun 

 ■x = Qe ie , wobei q den absoluten Betrag und 9 das Argument von x bezeich- 

 net, sowie in der Gleichung (43) für z — Ç + i %' die Veränderliche tv = u + iv, 

 so erhalten wir 



(65) | F(w) x-'- i = | G (w) (f (w, /) ar- I = 



I x \~ u . I w»+<—*> ("-i) I . e 6v ~ n C 2 ? -A ) M . I Å + A, cotg n (w - Cl ) + ■ • ■ | ■ X (M > «D . 



wo 1 dieselbe Bedeutung hat wie in (43), und X gleich p — 2 oder p — 1 ist. 

 Liegt nun e zunächst ausserhalb des von e = — jt(^- — 2) bis e = + jr(-|- — A) 

 reichenden Intervalls, so kann der Exponent v — ^ (^ 1 — X) \ v \ , wenn v alle 

 reellen Werthe durchläuft, unendlich grosse positive Werthe erhalten. Alsdann 

 verliert aber das Integral (64), wenigstens bei unbestimmten Werthen von 

 A ,A 1 ,-'., offenbar jeden bestimmten Sinn. Verstehen wir aber unter ê eine 

 bestimmte, beliebig kleine positive Zahl, die kleiner ist als die positive Grösse 

 .t (^-" — X), und beschränken das Argument e auf das Intervall 



(66) - st (=±ü - X) + å^ g £ + st ("t" - J) - * t 

 so wird 



e „_ jr (=±S_2)| e |^[ jr (5+»_2 ) _J]| l , _ sr( «'+l_A)| t ,; = -<>>), 



und somit die in (65) vorkommende Exponentialfunction niemals grösser als 

 e~ '"'. Von den Factoren der rechten Seite der Gleichung (65) sind nur der 

 erste und dritte von x abhängig. Bezeichnet man durch ip(u,v) das Product 

 der übrigen von x unabhängigen Factoren, so ist ip eine positive Variable, die 



