Gamma- und hypergeometrische Functionen. 39 



für v = + oo , a < u < fi , höchstens wie eine Potenz von v (resp. w) unendlich 

 wird. Nach dem Obigen hat man nun 



(67) \F(ic)x-'"\<\.rr 1 ' e~ dr $(u,v). 

 Tn der Reihe 



Y [* F(w)x-»dw= f F(w)ar w <Ztt> 



;. = — 00 i-+i'i c— ioo 



sind daher die absoluten Beträge der einzelnen Glieder beziehungsweise nicht 

 grösser als die entsprechenden Glieder der Reihe 



1= + 00 x+l + 00 



\x\~ e J] Ce- s Wyj(c,v)dv = \x\- c J e- s \ v \ip(c,v)dv, 



l=— oo A -co 



die offenbar einen endlichen und, bis auf den Factor | x | , von x unabhängigen 

 Werth hat. Die erstere Reihe ist somit für jeden endlichen, durch (66) cha- 

 rakterisirten Bereich von x gleichmässig convergent. Da die Glieder derselben 

 offenbar monogene Functionen darstellen, so ist hiermit gezeigt, dass das Integral 



i'-t- > 00 



(68) O (x ;c) = ~ J F (10) «-» c7 w , 



c — i'ao 



falls der Integrationsweg durch keine Unendlichkeitsstelle von F(iv) hindurch- 

 geht, in dem durch (66) char akt erisir ten Bereiche von x — die Punkte x = o 

 ni/il # = 00 ausgeschlossen — nicht nur einen bestimmten Sinn hat, sondern auch 

 eine gewisse monogene, daselbst regulär sich verhaltende Function von x darstellt. 

 Aus dem Obigen geht auch die folgende bemerkenswerthe Ungleichheit 

 hervor : 



-1-00 V 



(69) i O (x; c) I < i|y JV»M y (c, v) äv , 



— 00 



die später (§ 26) zu interessanten Folgerungen führen wird. Da das Integral 

 auf der rechten Seite von x unabhängig ist, so ergiebt sich daraus schon hier, 

 dass x k (x; c) bei Annäherung von x an die Stelle x = o gegen die Null con- 

 vergirt, falls k algebraisch grösser als c angenommen wird, sowie bei Annähe- 

 rung von x an die Stelle x = 00 ebenfalls gegen die Null, falls k dieses Mal 

 algebraisch kleiner als c angenommen luird; wobei selbstverständlich voraus- 



