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gesetzt werden muss, dass diese Annäherungen in dem durch die Bedingung 

 (66) charakterisirten Bereiche von x geschehen. 



Das Integral (68) ist nicht nur von x sondern auch von der Lage seines 

 Integrationsweges u = c abhängig. Die letztere Abhängigkeit soll jetzt genauer 

 festgestellt werden. Zu dem Ende denken wir uns wieder ein Rechteck mit 

 den Eckpunkten c + ia, d + ia, dessen Seiten aber durch keine Unendlich- 

 keitsstelle von F(tv) hindurchgehen. Wird das Integral 



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längs der Begrenzung dieses Rechtecks in positiver Richtung erstreckt, so ist 

 dessen Werth gleich der Summe derjenigen Residuen des Ausdrucks F(w)x~"", 

 welche zu den innerhalb des Rechtecks gelegenen Unendlichkeitsstellen desselben 

 Ausdrucks gehören. Lässt man nun weiter a ohne Ende wachsen, wobei die 

 zur reellen Axe parallelen Seiten sich ins Unendliche entfernen, so nähern sich 

 die längs diesen Seiten erstreckten Integrale vermöge (67) beide der Grenze 

 Null, während die beiden anderen in die Integrale + tf> {x; c), + O (x; d) über- 

 gehen. Somit ist, falls c<d ist: 



(70) G>(x;d)-®(x;c) = ^R u) , 



wo die Summation sich nur auf diejenigen Residuen des Ausdrucks F (w) x~'" 

 bezieht, ivelche su den zwischen den Parallelen u = c und u = d liegenden Un- 

 endlichkeitsstellen desselben Ausdrucks gehören. Die genauere Form dieser 

 Residuen kann leicht und soll auch gelegentlich ermittelt werden. — Als spe- 

 cialer Fall dieses Satzes kann der betrachtet werden, dass die beiden obigen 

 Integrale Q) (x ; c) und d> (x ; d) einander gleich sind, falls keine Unendlichkeits- 

 stelle von F(iv) zwischen ihren Integrationswegen gelegen ist. 



Verbindet man den letzteren Satz mit dem aus der Ungleichheit (69) ge- 

 folgerten, so ergiebt sich der Satz : Gehört der Integrationsweg u = c des Inte- 

 grals 0(x;c) dem Streifen (<x<£u<ß) an, wo F(w) sich überall regulär 

 verhalte, so convergirt das Product x h O(x;c), soivohl bei Annäherung von x 

 an die Stelle x = wie auch bei Annäherung von x an die Stelle x = oo , gegen 

 die Null, falls k eine beliebige, die Bedingung a < k < ß erfüllende Zahl be- 

 zeichnet. 



Da das Integral (68), auf die oben angeführte Reihenform gebracht, gleich- 

 massig convergirt, so darf jene Reihe nach x gliedweise differentiirt werden. 

 Was nun die Differentiation der einzelnen Glieder betrifft, so kann sie offenbar 



