Gamma- und hypergeometrische Functionen. 41 



vermögt' der Beschaffenheit der ( ilieder unter dem Integralzeichen ausgeführt 

 werden, wodurch sich ergiebt 



/.= + 00 <--t->(A-l-i) C-I-ICO 



a*^* = Ùl S J F(u^ar^d W = -^. j F(„>z-<<-'^. 



i=-oo .•-(-.'A 



Hiermit ist auf die wohl auch sonst übliche Weise dargethan, dass die Differen- 

 tiation des Integrals (68) unter dem Integralzeichen ausgeführt werden darf. 

 Dass die unbestimmte Integration gemäss der Gleichung 



.+(00 



(Vi) jo(x;c)x^ 1 dx = JL J FM^jd« + C (*Sc) 



c— 100 



ausgeführt werden kann, ergiebt sich durch Differentiation der beiden Seiten, 

 wobei der vorangehende Satz offenbar zur Anwendung gebracht werden darf. 



Der am Anfang dieses § bewerkstelligte Übergang von der Function F (z) 

 zu dem Integrale (63) kann nunmehr streng begründet werden. Wir wollen 

 ihn aber jetzt in umgekehrter Reihenfolge vornehmen. Hierbei ist es keines-- 

 wegs nöthig, einen Parallelstreifen von der Breite Eins vorauszusetzen, wo 

 F (2) sich überall regulär verhielte. Es sei vielmehr (a<t<ß) ein ganz be- 

 liebiger, in der Ebene der Veränderlichen z = Ç + i Ç' gelegener, zur imaginären 

 Axe paralleler Streifen, wo F(z) sich überall regulär verhält. Dann lässt sich 

 zeigen, dass das Integral 



■£> CO c + 1 CO 



(72) J (.r ; e) X*- 1 da- = f x z ~ l ^. f F (w) .,-" d w , 



c-r'OO 



falls z einen Werth innerhalb des Streifens bezeichnet und a<c<ß ist, nicht 

 nur einen bestimmten Sinn hat sondern auch gleich F(z) ist. — Vermöge des 

 bei Gelegenheit der Ungleichheit (69) hervorgehobenen Satzes und wegen z > « 

 wird der Ausdruck af~* (x; c) =af~ 1 (x; «), falls er bei Annäherung von ./• 

 an die Stelle x = o nicht endlich bleibt, jedenfalls von niedrigerer Ordnung als 

 der ersten unendlich gross. Somit ist die in (72) bei x = o beginnende Inte- 

 gration erlaubt. Vermöge desselben Satzes und wegen z< ß wird x*~ l o(x;c) = 

 x*- 1 (x; ß) bei Annäherung von x an die Stelle x — °o von höherer Ordnung 

 als der ersten unendlich klein. Somit ist die in (72) bei x = co endigende In- 

 tegration erlaubt. Da af _1 (x; c) an den übrigen Stellen des Integrations- 

 weges sich regulär verhält, so ist der erste Theil unserer Behauptung erwie- 

 sen. — Die Richtigkeit des zweiten Theiles ergiebt sich in folgender Weise. 



ö 



