42 II j. Mellin. 



Vermöge des bei Gelegenheit der Gleichung (70) hervorgehobenen, soeben schon 

 angewandten, specielleren Satzes ist 



CO 1 QO 



J O O; c) x z ~ l dx = ( (./■; c) x*~ x dx + J 0> (a; c) ^ -1 äx 



o o 1 



1 00 



= j tf> (a;; «) x*~ l dx + \ Q> (*; /S) ^ _1 da: . 



o 1 



Ermittelt man nun diese Integrale mit Hülfe von (71). wobei c der Reihe nach 

 gleich (c und ß zu setzen ist, so ergiebt sich 



00 a +100 /3+IOO 



Ça>(x;c)x- 1 dx = -?-. f lM dw+ L f *££*«, 



a—i so ß—icc 



weil das Integral auf der rechten Seite von (71) wegen «<z<ß sowohl für 

 c - a und x = o als auch für c = /3 und a; = ao den Werth Null erhält. Wen- 

 det man nun schliesslich auch den CAucHYschen Satz so an, wie es im vorher- 

 gehenden § geschehen ist, so zeigt sich, dass die rechte Seite gleich F(z) ist, 

 womit die Richtigkeit unserer Behauptung vollständig erwiesen ist. 



Aus dem Obigen folgt unmittelbar, dass das Integral H>{x;c), als Func- 

 tion von x betrachtet, nur dann identisch verschwindet, wenn dies mit F(z), 

 als Function von z betrachtet, der Fall ist. 



Weil F(z) einen Ausdruck von der Form 



F (s) = r(- - Ql ) . . . r(z ->,„) r(i + tfl - «) . .. r(i + a„ -*) g> (*, A) 

 bezeichnet, wo q> die Form hat 

 <p(g,X)= smit(e — ej •• -sin sr (z — c x )[A + AiCotgsr (e - Cj) -I h ^cotgrr^ — c )], 



sin fft P* 1 



und da die trigonometrischen Functionen mit Hülfe der Formel 



n r(z)r(i-e) 



durch die Gammafunction ausgedrückt werden können, so eröffnet uns der über 



(72) bewiesene Satz die Aussicht, eine überaus grosse Menge bestimmter Inte- 

 grale auf die Gammafunction zurückführen zu können. Es erübrigt uns in der 

 That nur der Nachweis, dass die in der Form (68) erhaltenen Functionen 

 ö>(:f, - 6') mit den hypergeometrischen identisch sind. 



Dabei wollen wir wieder annehmen, dass es für die Function F(iv) einen 

 zur imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins giebt, («<?«<«+i), 



