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Aus den beiden letzten Gleichungen folgt schliesslich für d> (x; «) die Dif- 

 ferentialgleichung 



die auch in der Form geschrieben werden kann: 



clx dx clx dx 



Durch den Schluss von n auf n + i überzeugt man sich von der Gültig- 

 keit der Identität 



»-i 



! d \ I d , \ di/ .du dl) , 



(*Ä + <V"Y£ + «"J y= dP i + am - 1 x d^ Zi + '" +aiX di +aoy - 



Setzt man y = x Q , so ergiebt sich die in Bezug auf q identische Gleichung 

 + Qi) ■ ■ • («? + ?») = a* + cii Q + o 2 Q fe — l) H + Ç fe - 1) • • -fe — m + l) , 



die beispielsweise für q = o , i , 2 , ■ • ■ , m - i eine zur Berechnung der Constan- 

 ten a hinreichende Anzahl Gleichungen giebt. 



Die Differentialgleichung (75) lässt sich also auf die Form bringen 



d0 d v 



(a o — h o x)0 + fei — b 1 x)x-^ + h (a v — b v x)x v -^ =0, 



wo v diejenige der Zahlen m und n bezeichnet, die nicht kleiner ist als die 

 andere. Dies ist aber die wohlbekannte Form der hypergeometrischen Diffe- 

 rentialgleichungen. Die ursprünglich in der Form (64) erhaltenen Functionen, 

 zu denen wir von den Functionen F (z) durch Vermittelung der Functionen 

 P (z) und Q (z) gekommen sind, erweisen sich somit als hypergeometrische 

 Functionen. 



Ist m>n, so ist a v =i, b v = o; ist m<n, so ist a v = o, b v = +\; ist 

 schliesslich m = n , so ist a v = 1 und b v — + 1 , je nachdem m + X eine gerade 

 oder ungerade Zahl ist. Offenbar sind x = o und x = od jedenfalls singulare 

 Stellen der Differentialgleichung, und zwar die einzigen, falls m und n einander 

 ungleich sind. Ist aber m = n, so hat die Differentialgleichung überdies eine 

 singulare Stelle in dem Punkte x = (— i)'" +x , d. h. im Punkte x = +i oder 

 im Punkte x = — 1 , je nachdem m + A eine gerade oder ungerade Zahl ist. 

 Bemerkens werth ist, dass diese Stelle jedoch nicht singulare Stelle des Integrals 

 ®(x; c) ist, falls sie nämlich im Gültigkeitsbereiche desselben liegt. 



