Gamma- und hypergeometrische Functionen. 4ö 



Wir wollen nunmehr in den nachfolgenden §§ 16, 17, 18 zu den Func- 

 tionen P(#) und Q(#) zurückkehren, um dieselben unter besonderen Voraus- 

 setzungen sowohl über die Zahlen m und n Avie über die Lage des Parallel- 

 streifens (ß<g'<«+i) zu erörtern. In den übrigen §§ dieses Abschnittes 

 wollen wir uns sodann in ähnlicher Weise mit den Functionen O (x ; c) be- 

 schäftigen. 



Anmerkung. Es kann dem aufmerksamen Leser nicht entgangen sein, 

 dass die Erörterungen dieses § — mit einziger Ausnahme der Herleitung der 

 Differentialgleichung (75), wobei die Functionalgleichung der Gammafunction 

 benutzt wurde auch eine weit allgemeinere Gültigkeit besitzen, als was 



bisher hervorgehoben worden ist. In der That haben wir bei keiner anderen 

 Gelegenheit in diesem § von einer Functionalgleichung Gebrauch gemacht. 

 Die übrigen Sätze dieses § haben sich ergeben auf Grund der einzigen Voraus- 

 setzungen, dass F {s) eine Function bezeichnet, welche in dem in Betracht ge- 

 nommenen, zur imaginären Axe parallelen Streifen («<;£"<;£) den Charakter 

 einer ganzen — eventuell (70) rationalen — transcendenten Function besitzt, 

 deren Verhalten für unendlich grosse, diesem Streifen angehörige Werthe von 

 z = 'Ç+i£ durch einen Ausdruck der Form 



lF0)i = 6~ din .^n 



angegeben werden kann, wo # positiv ist und ip (£, £') eine Grösse bezeichnet, 

 die für ^ = +00, «<; £< ß, höchstens wie eine Potenz von £' unendlich gross 

 wird. Die von uns betrachteten Functionen verändern sich nun in dieser Hinsicht 

 offenbar nicht, wenn man sie beispielsweise mit einem aus beliebig vielen Factoren 

 der Form sin n (z — a) gebildeten Producte dividirt. Die so entstehenden Func- 

 tionen können noch zu den Gammafunctionen gerechnet werden, nämlich zu 

 denjenigen, zu denen man gelangt, wenn man die in einer Note des § 1 for- 

 mulirte Aufgabe löst. Für die entsprechenden Functionen P(z) und Q (2) 

 gelten noch einfache Functionalgleichungen, und die zugehörigen Integrale 

 </>(.r;c) befriedigen sogar hypergeometrische Differentialgleichungen, die aber 

 nicht mehr homogen sind 1 ). Gerade dieser Umstand, dass im Allgemeinen nur die 

 im Abschnitte I charakterisirten Gammafunctionen - - für die es also einen zur 

 imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins giebt, wo sie sich überall 

 regulär verhalten etc. - - auf die auseinandergesetzte Weise zu homogenen hyper- 

 geometrischen Differentialgleichungen führen, hat uns veranlasst, die Untersuchun- 



') Diese Gleichungen können doch durch geeignete Operationen auf die homogene Form 

 gebracht werden. Dadurch erhöhen sich aber die Ordnungszahlen derselben. 



