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gen des gegenwärtigen Abschnittes auf die genannten Functionen allein zu be- 

 schränken. — Man gelangt aber schon zu Functionen, die nicht mehr zu den 

 Gammafunctionen gerechnet werden können, wenn man die oben besprochenen 

 mit einem etwa aus Thetafunctionen gebildeten Producte multiplicirt. Da die 

 Thetafunction eine ganze transcendente Function ist, die insbesondere die Eigen- 

 schaft & {2 + n i) = © (V) hat, so erfüllen die so gebildeten Functionen die Be- 

 dingungen, worauf alle Sätze dieses § mit Ausnahme der Differentialgleichung 

 (75) gegründet sind. Diese Beispiele von Functionen, auf welche die frag- 

 lichen Sätze anwendbar sind, Hessen sich ohne Mühe beliebig vermehren. 

 Vielleicht wird sich eine andere Gelegenheit darbieten, auf diesen Gegenstand 

 nochmals zurückzukommen. Diesmal mögen nur noch die aus Gammafunctionen 

 mit gebrochenen Exponenten zusammengesetzten Producte (eventuell Quotienten) 

 angeführt werden. Da sie aber mehrdeutig sind, so gehört der Satz (70) 

 nicht mehr zu den für dieselben gültigen Sätzen. Es ist beispielsweise 





falls c nicht eine negative ganze Zahl oder die Null ist und s zweckmässig 

 beschränkt wird. — (Confer § 29). 



15. 



Bei Untersuchungen über Gamma- und hypergeometrische Functionen kann 

 man einen von Gauss herrührenden und von Weierstrass verallgemeinerten 

 Satz nicht entbehren, welcher - wenn man auch den Fall berücksichtigt, wo 

 veränderliche Grössen in dem in Frage kommenden Producte auftreten — im 

 Wesentlichen sich folgenderweise aussprechen lässt: 



Ist die Function f (f , £) für £ < q und für alle Werthe von t , die einem 

 gewissen Bereiche dieser reellen oder complexen Veränderlichen angehören, dem 

 absoluten Betrage nach kleiner als eine angebbare endliche Grösse und über- 

 dies in eine für die genannten Werthe von t und £ unbedingt convergirende 

 Reihe der Form 



1 + T2 (0 r + <ps (0 r + • • • 



entwickelbar, wo die q von £ unabhängig sind; ist ferner a eine beliebige 

 reelle Constante und s = g" -f- i £' eine auf die Halbebene Ç > « beschränkte 

 Veränderliche, so ist das unendliche Product 



