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Gamma- mu! hypergeometrische Functionen. 47 



S + tj- 11 [ l + (z + ky + ( z + ky + 



falls f< + Äq > p ist. für alle oben erwähnten Wertlie von t und z gleich- 

 massig convergent und dein absoluten Betrage nach kleiner als eine angebbare 

 Grösse. Dasselbe nähert sich ausserdem bei Annäherung von s in der ge- 

 naimten Halbebene an die Stelle z = gc gleichmässig der Grenze Eins '). 



Man beweist den Satz einfach, wenn man einen elementaren Satz über 

 Potenzreihen zur Anwendung bringt 2 ). 



Die für unsere Untersuchungen so wichtigen Gleichungen (9) und (10) des 

 § 2 sind mit Benutzung des obigen Satzes a. a. 0. erhalten worden. 



Bei Anwendungen des Satzes beachtet man zugleich, dass ein Ausdruck 

 f(t,£), in dessen Entwickelung nach Potenzen von | das Glied qpj (t) | vor- 

 kommt, durch Multiplication mit (1 + çyviO in eine Function übergeht, in deren 

 Entwickelung das genannte Glied fehlt und auf die der Satz sodann anwendbar 

 ist. — Das von dem obigen Producte Gesagte gilt offenbar auch von 



CO / . 



fc=*o 



falls k — « > l ist und z eine auf die Halbebene £ < « beschränkte Variable 

 bezeichnet. 



Bei den weiteren Untersuchungen können wir nicht unterlassen, das Ver- 

 halten der Gammafunctionen auch für den Fall zu beachten, w 7 o die unabhän- 

 gige Variable in der Richtung der reellen Axe sich ins Unendliche entfernt, 

 oder noch allgemeiner, wo sie sich in irgend einer, von einer, zur imaginären 

 Axe parallelen Geraden begrenzten Halbebene der Stelle 00 nähert. Aus der 

 Functionalgleichung F(z + 1) = + B (js) F(z) erhalten wir die beiden anderen: 



(76) F{z + k) = (± i) k BQ!)B(z+i).-.R( S + Jc-i) F(?) , 



(77) F(z - ft) = (± if W (s _ l)B J±%... B(g _ k) ■ 



Für hinreichend grosse Werthe von s hat man 



7? M _ - gl) • • • - g») _ m-» ( , * , *_ , 



l ) Der Satz gilt ebenso wohl, falls /(|) in der angegebenen Weise von mehreren Veränder- 

 lichen ty, ■ ■ ■ , t„ abhängt. Ein analoger Satz lässt sich für vielfache Producte beweisen. In seiner 

 Arbeit über die analytischen Facultäten sagt Weierstrass: „Übrigens würden sie (darunter der 

 obige Satz) sich ohne Mühe noch bedeutend verallgemeinern lassen". 



*) Siehe § 1 meiner Arbeit in Acta Math. Bd. 15. 



