Gamma- und hypergeometrische Functionen. 49 



p(- + ,) = (_ tfRtf p(,) _ (_ !)%• ( 2 ), 



(2 (* +!) = (- I) v i2 (0) Q (#) + (- l)" r (,) , 



wo r (?) eine uüt Z2 (?) gleichnamige rationale Function bezeichnet, deren 

 Zählers Gradzahl kleiner ist als m , falls m > n ist ; oder aber kleiner als n , 

 talls » > »M ist. Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichungen ergehen 

 sich die folgenden 



1=0 



PM-V (-l) Z, V(* + *) , (-Q^ffr + fc) 



r w - Zj -B 0) R + l ) ■ • • B + ty R (z) R (z + 1 ) - • • R (z + k - 1 ) ' 



(81) Q(z) = (- i)"r(z-i) +-£(-i)^ /?(.-_ i)R(z-2)-..-R(z-X+ l)r(z-k) 



X=2 



+ (-iy k R(z-i)R (0-2)..- R(z-k)Q(z-k). 



Aus der Form (45) des Integrals P (/) geht hervor,' dass dasselbe bei 

 Annäherung von s in der Halbebene z> a an die Stelle z — x> sich der Null 

 nähert. In ähnlicher Weise verhält sich Q (ß) in der Halbebene s < « + 1 . 

 Insbesondere ist lim P (0 + k) — o und lim Q (z — k) = o , falls z auf ein belie- 



biges endliches Gebiet beschränkt wird. 



Ist also erstens m > n , so nähert sich das letzte Glied der rechten Seite 

 von (80) mit wachsendem k gleichmässig der Grenze Null, falls z auf ein be- 

 liebiges endliches Gebiet beschränkt wird, wo keine Nullstellen von R (?) , 

 -ß (? + 1), •■■ hegen. Für P(z) ergiebt sich somit die beständig convergirende 

 Reihenentwickelung 



(82) p (~-) = 2 



(-l) lv r(z + X) 



A=0 



B (*)fl(*+i). ..*(* + *)' 



die im Endlichen höchstens an den Stellen q , , q — 1 , q — 2 , • • • (« = 1 , 2 , • • ■ m) 

 unendlich gross werden kann. Dagegen kann das letzte Glied der rechten 

 Seite von (81) mit wachsendem k sich nicht der Null nähern, weil man durch 

 die entgegengesetzte Annahme für Q (?) eine offenbar divergirende Reihe 

 erhält. 



Ist aber zweitens m<n, so erhalten wir aus (81) für Q (?) die beständig 

 convergirende Reihenentwickelung 



ao 



(83) Q(*) = (-i) v r(g-l) + y £(- iy- v R(0~i)R(z-2)...R(z-X + i)r(z-Z), 



A=2 



