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die im Endlichen höchstens an den Stellen 6^+ 1 , 6^+ 2 , 6 U + 3 , • ■ • (fi — 1 , 2 , • • • , n) 

 unendlich gross werden kann. Dagegen führt (80) zu keinem convergenten 

 Resultate. 



Der dritte- Fall, wo m = n ist, erfordert eine eingehendere Erörterung, 

 führt aber zugleich zu dem bemerkenswerthesten Resultate. Mit Hülfe der 

 Gleichungen (78) und (79) des vorhergehenden § bringt man die Restglieder in 

 (80) und (81) auf die bezüglichen Formen 



P(z + k) i_ z"(z + k)P (z + k) 



E(z)R(z+i)...R(z + k-i)- (s + k y^' /(!)... /(-4_) 



s* (z - k) Q(z- k) f(-^) ■ ■ ■ f(\) 

 R(s-l)R(z - 2) ... R(z-k) Q(z-k) = -1_ *" K 'pr 



Aus (45) und (46) ergiebt sich, dass lim (z + k) P(z + k) und lim (z — k) Q(z — k) 



beide endliche, von z unabhängige Grössen sind. Beachtet man ausserdem den 

 allgemeinen Satz des vorigen § und nimmt an, dass % > — 1 ist, so findet man, 

 dass diese Restglieder mit wachsendem k sich gleichmässig der Null nähern, 

 wofern z, wie in den vorigen Fällen, zweckmässig beschränkt wird. Für P(z) 

 und Q (z) ergeben sich daher, falls n > — 1 ist, die bezüglichen, gleichzeitig 

 convergirenden Reihenent Wickelungen (82) und (83). Hieraus geht aber noch 

 nicht hervor, ob die Ungleichheit x > — 1 auch eine nothwendige Bedingung für 

 die Convergenz dieser Reihen sei. Um hierüber zu entscheiden, wobei der 

 Einfachheit halbe]' die absolute Convergenz vorzugsweise beachtet werden soll, 

 bringen wir ihre allgemeinen Glieder auf die Formen 



r (z + k- l) _ _1 z % (z + k)"' r Q + k - l) 



R (s) R (z + 1) ■ - • R (z + k - 1) ~ (* + fc )*+"' /(i) . . . /(^-) 



/ - kf r(z-k-i). f(±ù • • • fC±) 



(0 - k) 



Hier bezeichne n -vi (vi = 1 , 2 , • • • , vi) die wirkliche Gradzahl des Zählers von 

 r(z), so dass also lim (z + k)"' r (z + k — 1) und lim (z — k)"' r (s — k- 1) beide 



k = oo i- = 00 



endliche, von Null verschiedene Grössen sind. Beachtet man dies, sowie den 

 allgemeinen Satz des vorigen §, so ergiebt sich in bekannter Weise, dass die 

 Reihen (82) uud (83) dann und nur dann absolut convergiren, wenn der reelle 

 Theil von v. die Bedingung v. > — vi + 1 erfüllt ; in welchem Falle sie offenbar 



