Gamma- und hypergeometrische Functionen. 51 



auch gleiehmässig convergiren, falls z auf ein beliebiges endliches Gebiet be- 

 schränkt wird, wo keine Unendlichkeitsstellen ihrer Glieder sich finden. 



Ist also drittens m = n und zugleich v. > — i , so convergiren die Reihen (82) 

 und (83) beide gleiehmässig; bezeichnet ferner n den Überschuss der Gradzahl 

 des Nenners von /' (z) über die des Zählers, so sind die nämlichen Reihen 

 immer und nur dann absolut convergent, wenn y. > — ■».'+ 1 ist, in welchem 

 Falle sie auch gleiehmässig convergiren, falls z auf ein beliebiges endliches 

 Gebiet beschränkt wird, wo keine Unendlichkeitsstellen ihrer Glieder sich fin- 

 den. Im Falle der Convergenz stellen sie die Functionen P (3) und Q (V) 

 resp. dar. Da P(z) + Q (z) = F (z) , so erhalten wir im fraglichen Falle zu- 

 gleich für F(z) die Reihenentwickelung 



r( z - Ql )...r(z- q„) r(i + <t 1 -z)-.-r(i + o n -z)(p(z,n- 2)1 



(84) } = 



r(z -(?,)••• r(z - q„) /-(! + *,_*)■■• r(i + a n - ,) y . (z, »- 1)| 



| o Ë(WF^W) ±r( ^ ° +|eti)^-i)H(.- a )..lï(.-*+i)r(*-I), 



wo auf der rechten Seite das obere oder untere zeichen zu nehmen ist, je 

 nachdem es sich um den ersteren oder letzteren der obigen Ausdrücke handelt. 

 Diese Gleichungen können natürlich auch als ziemlich allgemeine Summations- 

 formeln aufgefasst werden. Es lässt sich zeigen, dass die Gradzahl des 



Zählers von r (z), falls es sich um die erstere Gleichung handelt, niemals 

 grösser als w — 2 ist. Denn alsdann ist P (z + 1) = B (z) P (z) - r (z). Multi- 

 plient man diese Gleichung mit z und lässt z in der Halbebene s > « sich der 

 Stelle s = ce nähern, so zeigt der Integralausdruck von P (z), dass s P {z + i) 

 und zP(z) sich beide derselben endlichen Grenze nähern. Da R (z) sich der 

 Grenze Eins nähert, so folgt lim z r (js) = o, woraus sich die Richtigkeit der 



2=00 



Behauptung ergiebt. Hieraus kann man weiter finden, dass die Anzahl der 

 unbestimmten Constanten in den beiden Ausdrücken <p und r dieselbe ist. 



17. 



Im vorhergehenden § war es nicht nöthig, che Lage des Parallelstreifens 

 {a<'Ç<a+ 1), wo F(z) sich überall regulär verhält, genauer zu fixiren. Nun- 

 mehr soll aber vorausgesetzt werden, dass F (z) zu denjenigen Gammafunctio- 



