52 



Hj. M el lin. 



nen gehört, die durch den Satz des § 7 charakterisirt worden sind. Die Con- 

 stanten Qi, ■■■ , q,„ , öi , • • • , 6„ erfüllen also die Bedingungen 



(85) 



d = i , 2 , . . 





und es verhält sich F (z) in dem Streifen (a^f^a+i) üherall regulär, ohne 

 dass die unbestimmten Constanten von <f(z,p-?), resp. y{z,p — i), irgend 

 welchen Bedingungen unterworfen zu werden brauchen. 



In den Functionalgleichungen von P (s) und Q (/) treten gewisse Constan- 

 ten in der Form von bestimmten Integralen auf, welche die durch (51), (53) 

 und (57) angegebenen Werthe besitzen. In dem gegenwärtigen Falle, wo die 

 Ungleichheiten (85) bestehen, können diese Integrale entweder ausschliesslich 

 durch die Functionswerthe P(ö A ), P (<>*)•■• oder ausschliesslich durch die 

 Functionswerthe Q(qx+ 0> Qf (Qk+ "■ ausgedrückt werden. Nehmen wir 

 der Einfachheit halber an, dass weder unter Qi,-,Q m noch unter 6 lt •,6„ 

 zwei gleiche Grössen sich finden, so kann die Functionalgleichung von P(z) 

 entweder in der Form (50) oder in der Form (56) geschrieben werden, je nach- 

 dem m < n oder m ^> n ist. 



Ist also m<n, so ist vermöge (85) und (51): 



(86) 



P(, + i) = ±*(*)P(*) + 2^^> 



A=i 



Q(M+i) = ±B(B)Q(g)±^ t ^ 



B> Pfr) . 



A=i 



Ist aber m>», so ist vermöge (85) und (57): 



(87) 



P(') = 



B(g+l)q,V^^(gl+l) 

 B(z) 



y -^ V ' 



A=l 



?A 



Q(*+l) rV '5; QiQi+l) 





J=l 



In allen diesen Gleichungen ist das obere oder untere Zeichen zu nehmen, 

 je nachdem F(z) die Gleichung F(* + 1) = -B (*) F(*) oder F O + 1) = - E (V) F(» 

 befriedigt-. Die Grössen R u -,B„ sind nach § 13 die zu den Stellen = öj , • • • , 6„ 



