54 Hj. Mellin. 



18. 



In diesem § wollen wir voraussetzen, dass F(z) zu denjenigen Gamma- 

 functionen gehört, welche durch den Satz des § 11 charakterisirt worden sind. 

 Es ist dann m> n. Bezeichnet ferner c< eine reelle Zahl, die nicht keiner ist 

 als die reellen Theile von q u ■■■ , q,„, so verhält sich F (z) regulär in der 

 ganzen durch die Ungleichheit z > a charakterisirten Halbehene. Die Function 



F(w) 



W = ÀlJ J^ dw ' *>«,*<*, 



b— 100 



erweist sich in diesem Falle als besonders bemerkenswerth. Dieses Integral, 

 als Function von s betrachtet, verhält sich nämlich einerseits regulär in der 

 ganzen, durch die Ungleichheit s < b definirten Halbebene. Andererseits lässt 

 sich sein Integrationsweg u = b, wie aus § 13 zu finden ist, in der Richtung 

 der unendlich grossen positiven Zahlen parallel zu sich selbst beliebig weit 

 verschieben, ohne dass das Integral aufhört, die Function Q (s) darzustellen. 

 Hieraus folgt offenbar, dass Q (s) den Charakter einer ganzen Function hat, 

 weshalb sie auch in eine beständig convergirende Potenzreihe entwickelbar sein 

 muss. Diese Reihenentwickelung kann leicht mit Hülfe des TAYLORSchen Satzes 



erhalten werden oder durch gliedweise Integration derjenigen Reihe, die ent- 



F(ir) 



steht, falls der Ausdruck — — unter dem Integralzeichen nach Potenzen von - 



w — z ° w 



entwickelt wird. Die so entstehende Reihe ist nämlich für u = b gleichmässig 

 convergent, falls s auf ein beliebiges endliches Gebiet beschränkt und b hin- 

 reichend gross angenommen wird, weshalb sie gliedweise integrirt werden kann. 

 Die Function P (z) lässt sich in dem gegenwärtigen Falle, wie aus § 16 

 zu finden ist, durch die Reihe (82) darstellen. Mit Benutzung des CAucHYSchen 

 Satzes würde sie in allen Fällen, wo m > n ist, durch Partialbruchreihen, in 

 deren Gliedern keine additiven ganzen Functionen auftreten, dargestellt werden 

 können. Dieser Gegenstand soll indess hier übergangen werden, weil derselbe 

 in meinen früheren Arbeiten mit Hülfe des MiTTAG-LEFFLERSchen Satzes hin- 

 reichend behandelt Avorden ist. 



19. 



Nunmehr wollen wir zu den in § 14 erhaltenen Integralen 



c+»oo 



llV 



(x; c) = - — ; j G (w) <p (w , X) x-'" d 1 



