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Umgekehrt lässt sich auch jede Differentialgleichung der Form (89), (90) 

 oder (91) mit Hülfe der obigen Identitäten auf die symbolische Form (88) 

 bringen. 



Die weiteren Untersuchungen können wir in Fällen, wo die Annahmen 

 m > = < n besondere Erörterungen erfordern, unbeschadet der Allgemeinheit 

 auf solche Gamma- und hypergeometrischen Functionen beschränken, in deren 

 Functional- resp. Differentialgleichungen die Zahl m nicht kleiner ist als n 

 (m>n). Denn eine Functionalgleichung F (2 + 1 ) = ± R (2) F (2), wo m <n 

 ist, geht offenbar durch die Substitution (—0,2) in eine Gleichung über, wo 

 m > n ist. Ebenso verwandelt sich eine Differentialgleichung der Form (91), 

 wo also m < n ist, durch die Substitution Q , x) in eine Gleichung der Form 

 (89), wo m > n ist. Die analytischen Ausdrücke der bisher von uns ermittelten 

 Lösungen der beiden Arten von Gleichungen erleiden hierbei auch nur un- 

 wesentliche Veränderungen. Insbesondere ist zu bemerken, dass die Integrale 

 ®(x;c) durch die Substitution (l,x) ihren Sinn niemals verlieren können, falls 

 der ursprungliche Werth x = ge w dem Gültigkeitsbereiche von <D(x;c) ange- 

 hört; denn alsdann gehört auch der neue Werth \ = q' 1 e~ ie demselben Bereiche 

 an, wie aus (66) leicht zu finden ist. 



Anders verhält es sich mit der Transformation der Gleichung F (2 + 1) = 

 R(z)F(z) in die Gleichung F(z+ 1) = — R (2) F (2), oder vice versa. Denn 

 diese Gleichungen werden nicht durch eine einfache Vertauschung der unabhän- 

 gigen Veränderlichen in einander übergeführt, sondern vielmehr durch Vertau- 

 schimg der abhängigen Veränderlichen, indem man z. B. setzt f(z) = e ai " F(?) 

 oder f(z) = sinjr 2 F (z). Hierbei kann aber die durch (40) ausgedrückte Ei- 

 genschaft von F (ß) in gewissen Fällen bei f(z) verloren gehen, wie aus dem 

 gelegentlich der Gleichung (43) Gesagten zu finden ist. Wollte man, um die- 

 sen Übelstand zu vermeiden, f(z) = ^^- setzen, so tritt ein anderer her- 



' ' v y sin;*,* ' 



vor, indem es in manchen Fällen keinen Parallelstreifen von der Breite Eins mehr 

 giebt, wo f(2) sich überall regulär verhielte. Die Differentialgleichungen (88), 

 welche diesen Functionalgleichungen entsprechen, können zwar durch die Sub- 

 stitution (— x,x) in einander transformirt werden, denn dieselbe verändert nur 

 das Zeichen der rechten Seite von (88). Betrachten wir aber die Integrale 

 tf) (x; c), so finden wir, dass sie in einem gewissen Sinne eine solche Substitu- 

 tion nicht unbedingt gestatten. Nehmen wir in der That x = q e ie in dem 

 durch (66) charakterisirten Gültigkeitsbereiche von ®(x;c) an, so braucht der 

 zu substituirende Werth — x = q e l{ - e±3t) demselben nicht jedenfalls anzugehö- 

 ren. In den Fällen aber, wo O die Substitution (—x,x) gestattet, geht der 



