Gamma- and hypergeometrische Functionen. 57 



Ausdruck ar - " unter dem Integralzeichen entweder über in e~ nit " x~ w oder in 

 r 7 ""' ccr"', je nachdem es sich um einen halben Umlauf von x in positiver oder 

 negativer Richtung um x = o handelt. Hiermit vergleiche man, was über die 

 entsprechenden Functionalgleichungen soeben gesagt wurde. — Hieraus dürfte 

 sich ergeben, dass es angemessen war, die beiden Functionalgleichungen 

 F(z+\) = + R(z) F (z) gleichzeitig neben einander in Betracht zu nehmen. 

 Mit den entsprechenden Differentialgleichungen wollen wir auch in ähnlicher 

 Weise verfahren. 



Während auf der rechten Seite der Differentialgleichung (88) von <l)(;x;c) 

 das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem m + X eine gerade oder ungerade 

 Zahl ist, so befriedigt F(z) = G(z)cp(z,X) die Gleichung F(*+i) = + R(js)F(z) 

 oder F(z + 1) = - R(z)F(z), je nachdem n + X eine gerade oder ungerade 

 Zahl ist. 



Setzen wir 



f(fi) = (Q + ?i) (Q + Pa) • ■ • (Q + ?») » 



9 (?) =(Q + *i) (Q + ff 2 ) ■ • • (p + <*>■) . 

 so ist 



f(ß) = «o + «i Q + öa Q (Q - H 1- Ç (Ç- l) •••(? — m + l) = O 



die zur singulären Stelle x = o und 



g (1 - q) = 6 - &! q + b 2 q (ç + 1) H H (- l)" ? fe + l) • • ■ (ç + n - l) = o 



die zur singulären Stelle a; = go gehörige determinirende Gleichung der Diffe- 

 rentialgleichung (88). Die Wurzeln der ersteren Gleichung sind also: —&,•■•, 

 — q„, , ivnd die der letzteren : a t + 1 , • • • , o„ + i . Ist m = ra , so hat unsere Diffe- 

 rentialgleichung noch eine singulare Stelle in dem Punkte x = (- 1)"' 4 "''. Die 

 hierzu gehörige determinirende Gleichung ist: 



q (q - i) . . . (q — n + 2) ( ? + x + l) = o , 



wo x = 6, H h ö„ — 9i <j„ ist. 



Mit Benutzung der Bezeichnungen /'(p), </ (q) kann die Differentialgleichung 

 (88) in der einfachen Form f\x^-Jy=±xgix^- + i\y geschrieben werden. 

 Bekanntlich hat man 



"^(■s) l ' = '(*5-«) a|f "' 



