58 Hj. Mellin. 



Unsere Differentialgleichung, welche vermöge der ersteren Gleichung auch die 

 Gestalt f{ x -fajy = (- 1 ) m+X d[ x ^) x y annehmen kann, geht also durch die 

 Substitution x = t~ l in die Gleichung ff(-t^+\)y = (- 1)">+ 1 1 f(- 1 ~) y über, 



dt ' J a v ' "i\ "dt 

 d. h. in 



= (-iy + \4 t - Ql -i)...(t±- Qm -i)ty. 



20. 



Wir wollen zunächst die Frage entscheiden, wie viele linear unabhängige 

 Integrale der Differentialgleichung f( x j-j y = ±9 \ x 7ü) x V m dem Ausdrucke 

 <l> (x; c) enthalten sind, der fortwährend zu einem Parallelstreifen (a <g u<:a+ i) 

 gehören soll, wo die unter dem Integralzeichen stehende Function F{w) = 

 G(w)cp(w,X) sich überall regulär verhält. Mit Ausnahme des in § 7 cha- 

 rakterisirten Falles ist es sonst nöthig, die X + i (X = p — i oder p — 2) unbe- 

 stimmten Constanten von y gewissen Beschränkungen zu unterwerfen, damit 

 F(w) in dem fraglichen Streifen sich überall regulär verhalte. Hierdurch 

 verwandelt sich F(w), wie in § 9 gezeigt wurde, in einen Ausdruck 

 G (w) sin n (w — fr) • • • sin a (w - ß^) cp (w, X - ;<), wo q nunmehr bloss X — n + 1 

 unbestimmte Constanten enthält. 



Setzt man alle diese Constanten A , A u •••, A^ mit Ausnahme von A , 

 die den Werth Eins bekomme, gleich der Null, so geht d> (x; c) in ein parti- 

 culäres Integral ti> (x ; c) über. Setzt man alle Constanten A mit Ausnahme 

 von Ai, die den Werth Eins bekomme, gleich der Null, so verwandelt sich 

 0(x;c) in ein zweites particuläres Integral (Di(x;c), etc. Es lässt sich nun 

 sehr einfach zeigen, dass die so erhaltenen Functionen ein System von X — (i + 1 

 linear unabhängigen Integralen unserer Differentialgleichung bilden. In der 

 That kann 



</> (x; c) = A W (x; e) + • ■ • + ^a-^ Ö^-p (-'V c) 



nach einem in § 14 erhaltenen Satze nur dann identisch verschwinden, wenn 

 dies mit F(w), als Function von w betrachtet, der Fall ist. Da dies aber 

 offenbar nicht der Fall ist, wofern X — ;t > und keine zwei der in (p enthal- 

 tenen Constanten c x , c 2 • • • um eine ganze Zahl von einander differiren, so ist 

 die Richtigkeit der Behauptung erwiesen. 



