Gamma- und hypergeometrische Functionen. 59 



21. 



Die Anzahl der in 



i -riju 



(92) d> { > ; c) = ~ J G (m») (jp (/r, Ä) .,■ -■ ,/ i 



enthaltenen unbestimmten Constanten A ist die grösstmögliche, falls &(w)cp(w,X) 

 zu den in § 7 characterisirten Gammafiinctionen gehört, was nunmehr in die- 

 sem § und in den §§ 22, 24 angenommen werden soll. Diese Anzahl X + 1 

 ist dann =p — 1 oder =p, je nachdem es sich um den ersteren oder letzteren 

 Ausdruck (26) handelt. Im gegenwärtigen Falle erfüllen die reellen Theile der 

 Constanten q und o von vorneherein die Bedingungen 



p = 1 , 2 , • ■ • , »i\ 



v = 1,3, ■•-,«]' 



Qti< a < a v , 



wo « eine gewisse reelle Zahl bezeichnet ; und es verhält sich dann (w) cp (w , X) 

 im Streifen («<«<«+ 1) überall regulär. Das zu diesem Streifen gehörige 

 Integral (92) kann nach § 20 als homogene lineare Function mit unbestimmten 

 Coefficienten von X+ 1 linear unabhängigen Integralen der Differentialgleichung 

 f(x-j-\y — (— i)"' +l g (x—\ xy aufgefasst werden. 



Wir wollen jetzt den Gültigkeitsbereich von (92) unter verschiedenen An- 

 nahmen über die Zahlen m , n , X etwas genauer betrachten. Dieser Bereich 

 wurde in § 14 durch die Ungleichheiten (66): 



(93) _*(!^_A)-f <J<e^ + *(^-*)-d 



Charakteristik, wo ô eine beliebig kleine positive Zahl und 9 das Argument von 

 x = çe' e bezeichnet. Der absolute Betrag q kommt also hierbei gar nicht in 

 Betracht. Liegt e ausserhalb des von — it (^~ — X) bis + n ('-£-"- — X) reichen- 

 den Intervalls, so hat das Integral (92), wenigstens bei völlig unbestimmten 

 Werthen der in y(w,X) enthaltenen Constanten A, keinen bestimmten Sinn. 



Es können nun überhaupt vier Fälle in Betracht genommen werden: je 

 nachdem m + n eine gerade oder ungerade Zahl ist und X jedesmal gleich p — 2 

 oder p—\ angenommen wird. Den Gültigkeitsbereich von 0(x;c) in diesen 

 verschieden Fällen ersieht man aus der folgenden, aus (93) mit Beachtung 

 von p^^^>p— 1 sich ergebenden Zusammenstellung: 



