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60 Hj. Mellin. 



m + n — 2 Je : 

 [— 2 st + ô <^ e <; + 2 ar — <3 ' , für X = p — 2 , 



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|— » + ô <j ö <^ + st — d, für X = p — i 



m + n = 2k + i : 

 _E|: + ( J^ö^ + 3 ^-cMürA =i?-2 

 — | + «*<;e<; + f - à, für A = p - i . 



Da d eine unendlich kleine Grösse bezeichnen darf, so wird der Gültig- 

 keitsbereich von O (x; c) im ersten Falle durch eine die &-Ebene — mit Aus- 

 nahme der positiven Hälfte der reellen Axe, wo nur einfache Bedeckung statt- 

 findet — doppelt bedeckende Fläche geometrisch dargestellt. 



Der Gültigkeitsbereich von O (x; c) ist im zweiten Falle eine die ;f-Ebene 

 - mit Ausnahme der negativen Hälfte der reellen Axe, wo keine Bedeckung 

 stattfindet — einfach bedeckende Fläche. 



Im dritten Falle ist der Gültigkeitsbereich von O (x; c) eine Fläche, welche 

 diejenige Hälfte der z-Ebene, wo der reelle Theil von x positiv oder gleich 

 der Null ist, nur einfach, den übrigen Theil aber zweifach bedeckt. 



Im vierten Falle schliesslich bedeckt der Gültigkeitsbereich von <D (x; c) 

 nur, und zwar einfach, diejenige Hälfte der z-Ebene, wo der reelle Theil von 

 x positiv ist. 



Das oben Dargelegte gilt für den Fall, dass die Constanten A des Aus- 

 drucks <p {z , X) als völlig unbestimmte Grössen betrachtet werden. In § 3 ist aber 

 gezeigt worden, dass dieser Ausdruck, wofern die A den beiden Bedingungen 

 (16) unterworfen werden, sich in den Ausdruck (p(é,X — 2) verwandelt, der 

 noch X — i unbestimmte Constanten A enthält ; woraus weiter folgt, dass die 

 sämmtlichen Ausdrücke q> (s , X — 2), y (a, X — 4), • • • als specielle Fälle in cp (#, X) 

 enthalten sind. Zugleich ergiebt sich, dass beispielsweise das in d> (x; c) ent- 

 haltene Integral 



£, J Q(w)<p(w,l-2)x-»d 



/r 



welches als homogene lineare Function mit unbestimmten Coefficienten von X — 1 

 linear unabhängigen Integralen der Differentialgleichung 



betrachtet werden kann, einen Gültigkeitsbereich besitzt, der durch die Ungleichheiten 



