62 Hj. Mellin. 



Bei den Erörterungen dieses § war es nicht nöthig anzugeben, ob die 

 Zahl m gleich, grösser oder kleiner als n sei. 



22. 



Weil das im Vorhergehenden § erörterte Integral (92) </> (x ; c) als homogene 

 lineare Function mit unbestimmten Coeflicienten von X + 1 linear unabhängigen 



Integralen der Differentialgleichung f\%-r) V~{~ x)'" +x g (xj-) x y betrachtet 

 werden kann, so entsteht ungezwungen die Frage : kann (x; c) jemals das all- 

 gemeine Integral dieser Gleichung darstellen, d. h. bilden die in Q> (x , c) ent- 

 haltenen linear unabhängigen Integrale jemals ein Fundamentalsystem von In- 

 tegralen der genannten Gleichung? Hierfür ist offenbar nothwendig und hin- 

 reichend, dass die Anzahl X + 1 derselben gleich der Ordnungszahl der Diffe- 

 rentialgleichung sei. Diese Ordnungszahl ist m , falls m > n ist, was unbe- 

 schadet der Allgemeinheit (§ 19) angenommen werden kann. Nun ist aber 

 X entweder =p — 2 oder =p— 1, je nachdem es sich um die Gleichung 



f{ x £) y=(- l ) m+P S («jg) *y »der f(x^j y = (- i)-»*- 1 g (x^j xy handelt. 

 Wir nehmen den letzteren Fall an, weil die fragliche Anzahl X + 1 dann die 

 grösstmögliche, d. b. gleich p wird. Setzen wir nun p — m in den Ungleich- 

 heiten p > -£-' > p — 1 , so folgt m y n > m — 2 . Damit also p — m sei, muss 

 entweder m = n + 1 oder m = n sein. Aus jeder dieser Gleichungen folgt auch 

 umgekehrt, dass p = m ist. 



Ist also entweder m = n + 1 oder m = n , so wird das allgemeine Integral 



der Differentialgleichung flx-j-)y = — g[x-^-)xy durch den Ausdruck (92), 



falls darin X=p — 1 = m — 1 angenommen wird, dargestellt. In allen anderen 

 Fällen (den Fall n = m+i. ausgenommen) ist die Anzahl X + i der in <d(x; c) 

 enthaltenen linear unabhängigen Integralen kleiner als die Ordnungszahl der 

 entsprechenden Differentialgleichung. 



Diese beiden bemerkenswerthen Fälle {in =n+ 1 und m — n) wollen wir 

 in diesem § etwas genauer erörtern. 



Es sei erstens m = n+ \ . Das allgemeine Integral der Differentialglei- 



