Gamma- und hypergeometrische Functionen. 65 



gleichlingen? Die Stellen x = o und x=cc sind als singulare Stellen unserer 

 Integrale ®(x;c) zu betrachten. Jede beliebige andere Stelle ist aber, wofern 

 sie nur im Gültigkeitsbereiche des betreifenden Integrals liegt, eine reguläre 

 Stelle desselben. Betrachten wir nun die Differentialgleichung (107), so finden 

 wir. dass sie, ausser in den Punkten x = o und 35=00, noch eine singulare 

 Stelle im Punkte x= 1 hat. dessen zugehörige determinirende Gleichung nach 

 £ 19 die Wurzeln Q—o, 1,2, ■■-,« — 2 und — n — 1 besitzt. In dem obigen 

 Falle, wo die Bedingungen Q lL <ct< 6^ erfüllt sind, ist der reelle Theil von 



x = o, -| f- B — Q t - ... — Q n positiv, und somit der reelle Theil der Wurzel 



<> — — ■/. — 1 sicherlich negativ. Nach der allgemeinen Theorie lässt sich das 

 allgemeine Integral von (107) in der Umgebung der Stelle x = 1 in der Form 



(109) C f(i -x) + C\ (1 -x)% (1 -x) + ■■■+ C _ a (i -o;)"- 2 ^_ 2 (l- ,) 



+ 6'„_ 1 (i-^r- , ^_ 1 (i-.r) 



darstellen, wo die 'p gewöhnliche Potenzreihen bezeichnen. Weil das letzte 

 Glied dieses Ausdrucks für x - 1 unendlich wird, so muss das in der Umge- 

 bung von x — 1 regulär sich verhaltende Integral (108) in derselben Umgebung 

 mit dem Ausdrucke identisch sein, der dadurch erhalten wird, dass man in 

 (109) C„_,=o setzt, die übrigen C aber als völlig unbestimmte Constanten 

 beibehält. Unser Integral (108) stellt aber nicht nur diesen Ausdruck, son- 

 dern auch alle daraus, durch analytische Fortsetzung innerhalb der Fläche 

 — 2ff + d<e< + 2ff — ô entstehenden Potenzreihen dar. 



Weil die Differentialgleichung (104) aus (107) durch die Substitution 

 (— x, x) erhalten wird, wodurch die singulare Stelle x = 1 nach dem Punkte 

 x — — 1 verlegt wird, so ist jene von dieser Gleichung nicht wesentlich ver- 

 schieden, sondern nur eine andere Form derselben. Nach dieser Transformation 

 lässt sich aber selbst das allgemeine Integral unserer Differentialgleichung durch 

 den Ausdruck (105) darstellen, dessen Gültigkeitsbereich die Fläche (106) ist. 

 Dass diese Fläche die negative Hälfte der reellen Axe gar nicht bedeckt, 

 stimmt mit dem Umstände gut überein, dass die singulare Stelle x = — 1 , an 

 der das allgemeine Integral unendlich wird, nunmehr gerade auf dieser Hälfte 

 liegt. Aus dem § 23 wird man finden, dass der Ausdruck (108) durch analy- 

 tische Fortsetzung, verbunden mit gewissen anderen Operationen, in den Aus- 

 druck (105) übergehen kann, dessen Gültigkeitsbereich nur ein Theil des Be- 

 reichs des ersteren ist. 



