66 Hj. Mellin. 



23. 



In diesem § soll gezeigt werden, dass alle von uns mit d> (x; c) bezeich- 



neten Integrale aus dem Integrale 



(uo) 



C +100 



2 sr 



s/«K«)^*« = 



C — l 00 



sis f r( "' ~ ?i) ' ' ' r( "" ~ ?m) r( l + Gi ~ ' r) • ' ' r(1 + Gn ~ M,) *~'" (/ "' 



C— t 00 



durch analytische Fortsetzung, verbunden mit gewissen anderen einfachen Ope- 

 rationen, erhalten werden können. Hierbei ist die Annahme keineswegs nöthig, 

 dies Integral gehöre zu einem Parallelstreifen von der Breite Eins, wo G (w) 

 sich überall regulär verhält. (Einen solchen Streifen braucht es gar nicht zu 

 geben.) Wir setzen nur voraus, dass der Integrationsweg u = c (w = u + iv) 

 durch keine Unendlichkeitsstelle von G (w) hindurchgeht. Der Gültigkeits- 

 bereich des Integrals, als Function von x = q cJ ° betrachtet, ist eine durch die 

 Ungleichheiten 



(111) - "'+" a + d<n< + "'+" - â 



charakteiïsirte Fläche. Weil rp(iv,X) als homogene lineare Function von X+\ 

 Ausdrücken der Form sin % (w - c,) ■ • • sin jt (w — c x ) betrachtet werden kann, 

 so können wir auch das Integral d>(.r:i) als homogene lineare Function von 

 ebenso vielen Integralen der Form 



"ö x 



(112) — - G(w) sinar (w — Cy) ••■sin si(w — cj)x~ w die 



' — irc 



auffassen. Die Richtigkeit unserer Behauptung ist also erwiesen, wenn wir 

 zeigen, das dies Integral aus (uo) durch analytische Fortsetzung etc. erhalten 

 werden kann. Der Gültigkeitsbereich von (112) ist eine durch (93) charakteiï- 

 sirte Fläche, die offenbar in der Fläche (111) vollständig enthalten ist. Es sei 

 .r = Qe' e ein beliebiger Werth im Bereiche von (110). Bei einem halben Um- 

 laufe von x um x = o geht der unter dem Zeichen des Integrals (1 10) stehende 

 Factor x-'" in er 711 ' x~ w oder in e niw x~ K über, je nachdem der Umlauf in 

 positiver oder in negativer Richtung um x = o geschieht. Das Integral (110) 

 heisse y. Bezeichnen wir nun durch [yf den Werth, den y nach dem erste- 

 ren, durch [//]"* den Werth, den y nach dem letzteren Umlaufe bekommt, so 

 ist offenbar 



