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wo die C Grössen bezeichnen, die erhalten werden, indem man die Entwickelung 

 (117) bewerkstelligt. 



Nachdem nun gezeigt worden ist, wie die Residuen B und 8 in jedem 

 Falle bestimmt werden können, sollen die Gleichungen (113), (114) unter der 

 Annahme betrachtet werden, dass v eine ohne Ende wachsende positive ganze 

 Zahl bezeichnet. Um das Verhalten der Integrale <d(x;c — v) und O (x; c + v) 

 dabei leichter übersehen zu können, führen wir ihre Integrationswege u = c — v 

 und u — c + v durch die Substitutionen w = y — v und w = y + v in die Lage 

 y = c über. Zugleich wollen wir aber statt y weder w als Zeichen der Inte- 

 grationsvariable herstellen. Machen wir auch von der Functionalgleichung des 

 Ausdrucks G (w) <p (w) Gebrauch, so haben wir: 



</> 



C-(-iOO 



(x; C — v') — =— . I -^. TVüT ^Ä BT7 ï\ Gf ("') <f ("') x " d w 



' 2st% J B(w — l)B(ic — 2)---B(tr—v) v ' T v ' 



v+ico 



(x; c + v ) = =—. — *-*■ — i — '—*—, t — i — — —' G (w) (f (ic) .<.-" (/ W . 



231 1 J i' 



c-ioo '° 



Mit Benutzung der in § 15 ermittelten Gleichungen (78), (79) ergiebt sich nun 

 leicht Folgendes : 



Ist m>n, so nähert sich O (x; c — v) mit wachsendem v der Null, wie 

 gross auch der absolute Betrag von x sei. Die rechte Seite von (113) geht 

 also dabei in eine beständig convergirende Reihenentwickelung über. 



Ist m = n und x < 1 , so nähert sich (D (x; c - v) mit wachsendem v der 

 Grenze Null. Ist aber m — n und |a;|>i, so nähert sich ®{x; c + v) mit 

 wachsendem v derselben Grenze. Im ersteren Falle geht die rechte Seite von 

 (n3) in eine für \x <i, im letzteren Falle die rechte Seite von (114) in eine 

 für | x | > 1 convergirende Reihenentwickelung über. 



Ist schliesslich m<n, so nähert sich ®(x; c + v) mit wachsendem v der 

 Null, wie klein auch der absolute Betrag von x sei. Dabei geht also die 

 rechte Seite von (114) in eine beständig convergirende Reihenentwickelung über. 



Erfüllen die Grössen Qi, ■•-, Q m insbesondere die Bedingung, dass die 

 Differens irgend zweier derselben keine ganze Zahl ist, so besitzen die Besi- 

 duen B die durch (115) angegebenen Werthe, und es ist also, falls m^n ist: 



r+l'OO 



(119) 0U;r) = — . r(w—Qi)---r(iv—Q m )r(i+a 1 —w)--r(i+a n —w)^(iv,i.)z-"'di 



'2 311 J 



