Gamma- und hypergeometrische Functionen. 71 



Im Falle m = n convergirt die rechte Seite für |se|<i; ist aber für|a;|>i of- 

 fenbar divergent. Im Falle m > n ist dieselbe eine beständig convergirende 

 Reihenent w ickelung. 



Erfüllen die Grössen 6 U •••,6„ in besonderen Fällen die Bedingung, dass 

 die Differenz irgend zweier derselben keine ganse Zahl ist, so besitzen die 

 Residuen S die durch (116) angegebenen Werthe, und es ist somit, falls m<n ist: 



(i 



1 TUW 



l6)®(x;c)= ~ jr(<r-Q i )...r(,r-Q HI )r(l + o l -,r)...r(l+e u - l r)<p( l r,k).,-",l,r 



C — » CO 



=y»K+o (,) y (-0 { ^f- ir nv-«.-»)- n ^+^-vm. 



S v ; ^ Lr_ .«=1 f*=i 



Im Falle m = n convergirt die rechte Seite für j x | > 1 , ist aber für | % | < 1 

 offenbar divergent. Im Falle m < n ist dieselbe eine beständig convergirende 

 Reihenentwickelung. 



Der Fall m = n ist also dadurch bemerkenswert!!, dass das Integral ü> (x; c) 

 durch zwei verschiedene Reihenentwickelungen dargestellt wird, je nachdem 

 ./■ -1 oder |a:]>i ist: die erster e stellt das Integral in der Umgebung von 

 x = 0, die letztere in der Umgebung von x = cc dar. 



Man vergleiche die verschiedenen, nur theilweise sich bedeckenden Gültig- 

 keitsbereiche der beiden Seiten jeder dieser Gleichungen mit einander. 



Die rechte Seite von (119) hat die Form 



*~ 9 ' Vi (*) + *~ Q * % (») + ■•■ + x~ 9m % n (*) , 



die rechte Seite von (120) aber die Form 



if + ' ¥l (i) + (ip a (i) + ... + (ip.(i), 



wo die ^ (/) gewöhnliche, nach positiven ganzzahligen Potenzen von t fort- 

 schreitende Reihen bezeichnen. Dies stimmt auch damit überein. dass 



— «t , o,„ die Wurzeln der zur Stelle x = o , und ö t + 1 , ■ ■ • , ö„ + 1 die 



Wurzeln der zur Stelle .<• = cc gehörigen determinirenden Gleichung der Diffe- 

 rentialgleichung von (D(x;c) sind. (C. f. § l ( ->). 



