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25. 



Besondere Besprechung verdienen auch diejenigen Integrale <1> (x; c), welche 

 üher die in § 11 charakterisirten Gammafunctionen gebildet sind. Wie aus 

 den §§ 10 und 11 zu finden ist. werden die betreffenden Gammafunctionen aus 

 den Ausdrücken G (w) q> (w , p - 2) und G (w) y (w,p - 1), die allen Untersu- 

 chungen dieses Abschnittes zu Grunde liegen, dadurch erhalten, dass die unbe- 

 stimmten Constanten von cp(w,p - 2) und cp (w,p - 1) solchen Beschränkungen 

 unterworfen werden, dass die Gleichungen entstehen: 



G (ir) y (w, p - 2) = G (w) sin st (w — oj • . . sin st (w — o„) q> (w, p — n — 2) 



r (w- Ql )...r(w-Q m ) 



r(w-a 1 )...r(w-a-„) (pK "' q ~ h 



G(to)(p(w,p— l) = G (w) sin st (w — oj . .. s \nst (ir—a„) q>(ir,p -n—\) 

 _ T(w—Q 1 )--r(w—Q m ) 



r(w-a l )...r(w-<s H ) 



<p(> r ,q— 0, 



wo die ganzen Zahlen p und q —p — n, wie im ersten Abschnitte, durch die 

 Ungleichheiten p> ~ >p— 1, q>'"7' > q- 1 eindeutig definirt sind. Diese 

 beiden Ausdrücke sind vermöge der in § S gegebenen erweiterten Definition 

 von <p identisch gleich der Null, falls m < n ist, Damit also wenigstens nicht 

 der letztere identisch verschwinde, soll in diesem § angenommen werden, dass 

 m > n ist. Bezeichnet « eine reelle Zahl, die algebraisch grösser ist als die 

 reellen Theile von y,,- -,Q m , so sind die obigen Gammafunctionen dadurch 

 bernerkenswerth, dass sie sich in der ganzen durch die Ungleichheit 11 > a 

 (w = u + iv) charakterisirten Halbebene regulär verhalten. 

 Setzen wir nun 



C+tOO 



/ / x ! P r(ir—p.)-- ■ r(iv—o m ) 



v ' v ' isti j r (tv—61) ■ ■ ■ r (w—a n ) ^ v 



c — i CO 



wo X entweder = q — 2 oder = q — 1 ist, und nehmen c> cc an, so ist dies 

 Integral nach § 14 im Übrigen von c unabhängig. Bei unbestimmten Wer- 

 then der in q> enthaltenen Constanten (A) ist der Gültigkeitsbereich desselben 

 eine durch die Ungleichheiten 



(122) -st (- n ' 2 n -X) +ô£9< + st (==ï - X) - â 



charakterisirte Fläche. Es ergiebt sich leicht, dass dies Integral, wofern die 

 Constanten q und die in den vorangehenden §§ geltenden Bedingungen 



