Gamma- und hypergeometrische Functionen. 73 



q < « < 6 V erfüllen, als specieller Fall in dem daselbst besprochenen Integrale .CSj 

 ®(x;c) enthalten ist. Unter allen in (121) enthaltenen Integralen hat 



-<f t )...I (w-G„) *jf 



den weitesten Gültigkeitsbereich : — "~ n + ô <j e <. -f ~ a — â . Alle übrigen 

 Integrale V (.»■ ; c ) können offenbar ans diesem durch analytische Fortsetzung, 

 verbunden mit den in § 23 auseinandergesetzten Operationen, erhalten werden. 

 Das Integral (121) kann nach § 20 als homogene lineare Function mit 

 unbestimmten Coefticienten von X + 1 linear unabhängigen Integralen der Dif- 

 ferentialgleichung 



ä . \ t d , \ , .yn-,,+i. I d . \ 1 d 



(123) \x s + fcj - ■ ■ [z Tx + ç„j y = (- 1)™ (x Tx + *} - - - \x 5 + cj ,y , 



aufgefasst werden. 



Weil nach Voraussetzung m>n ist, so können die Integrale dieser Diffe- 

 rentialgleichung durch beständig convergirende Potenzreihen dargestellt werden. 

 Um die für das Integral (121) geltende Keine nentwickelung zu erhalten, hat 

 man nur den CAUcHYSchen Satz auf die in § 24 auseinandergesetzte Weise zu 

 benutzen. In dem einfachsten Falle, wo die Constanten q die Bedingung er- 

 füllen, dass die Differenz irgend zweier derselben keine ganze Zahl ist, bekommt 

 man die von Logarithmen freie Darstellung: 



(124) V (,; c) = — . J r ^_^.,./ (M ,_ g J <f> («, X) x-dn 



C *O0 



m 



wo 9 (,9k) = <f -(?*•, ^) ist. 





26. 



In diesem § wollen wir untersuchen, wie sich die in den vorangehenden 

 §§ durch <D(.r; c) und w(x;c) bezeichneten Integrale für unendlich kleine, 

 insbesondere aber für unendlich grosse Werthe der Variable x verhalten. 



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