74 II j. Mellin. 



Wir betrachten zuvörderst das Integral- ö> (x ; c). Infolge der über die 

 Constanten q und ö geltenden Voraussetzungen können wir dieselben in der 

 Reihenfolge geordnet denken: 



(125) e, < q 2 < . ■ ■ < q,„ < a l <: ff 2 <; . ■ ■ <: a„ , 



wo das Ungleichheits- resp. Gleichheits-Zeichen sich nur auf die reellen Theile 

 der betreffenden Grössen bezieht. Insofern nun der Integrationsweg u — c die 

 Bedingung q„, < c < 6 1 + 1 erfüllt, ist der Werth des Integrals O (x; c) im 

 Übrigen von c unabhängig. Aus der Ungleichheit (69) wurde in § 14 der 

 Satz gefolgert, dass x k (x; c) bei Annäherung von x an die Stelle x = o gegen 

 die Null convergirt, falls k algebraisch grösser als c angenommen wird, und 

 bei Annäherung von x an die Stelle x = co ebenfalls gegen die Null, falls 

 diesmal k algebraisch kleiner als c angenommen wird. Verbindet man diesen 

 Satz mit dem Umstände, dass c einerseits um beliebig wenig grösser als der 

 reelle Theil von q,„ und andererseits auch um beliebig wenig kleiner als der 

 reelle Theil von 6^ + 1 angenommen werden kann, ohne dass <D (x; c) aufhört, 

 eine und dieselbe monogene Function darzustellen, so folgt hieraus, dass jedes 

 durch Q)(x; c), wo q„, < c < 6 X + 1 ist, dargestellte Integral der Differentialgleichung 



f( x -T-)y = (~~ l )'" +X g( x Y) x y die Eigenschaft besitzt, dass x 1 ' (x ; c) bei An- 

 näherung von x an die Stelle x = o gegen die Null convergirt, falls k alge- 

 braisch grösser als die reellen Theile von Qi, ■■■ , q,„ angenommen ivird, und bei 

 Annäherung von x an die Stelle x — co ebenfalls gegen die Null, wofern dies- 

 mal k algebraisch kleiner als die reellen Theile von öj -f- 1 , • • ■ , ö„ + 1 angenom- 

 men wird. Selbstverständlich sollen diese Annäherungen im Gültigkeitsbereiche 

 von (D (x; c) geschehen. Ist k insbesondere eine die Bedingung q„, < k < ö x + 1 

 erfüllende Zahl, so ist sowohl lim x k d)(x; c) = als auch Hm x h Q> (x; c) =0. 



x = O x = 00 



Ist in dem Integrale (121), w(x;c), c grösser als die reellen Theile von 

 Qu ■ • • > Qm , so ist u> im Übrigen von c unabhängig. Insbesondere lässt sich 

 der Integrationsweg u = c beliebig weit in der Richtung der unendlich grossen 

 positiven Zahlen verschieben, ohne dass n>~ aufhört, eine und dieselbe monogene 

 Function darzustellen. Verbindet man diesen Umstand mit dem oben ange- 

 führten Satze des § 14, so folgt, dass jedes durch H j '(x; c) dargestellte Inte- 

 gral der Differentialgleichung (123) die bemerkenswerthe Eigenschaft besitzt, 

 dass x h w(x;c), wie gross man auch k annehmen möge, bei Annäherung von 

 x an die Stelle x = 00 gegen die Null convergirt. Derselbe Ausdruck conver- 

 girt bei Annäherung von x an die Stelle x = o ebenfalls gegen die Null, falls 

 ä; algebraisch grösser als die reellen Theile von ^ , • • • , (>,„ angenommen wird. 



