Gamma- und hypergeometrische Functionen. 75 



Die obigen Sätze über r/>(.r;c) und '/>'(#; c) drücken in manchen Fällen 

 nur Eigenschaften aus, die ebenfalls aus der allgemeinen Form der in den 

 Umgebungen der singulären Stellen x = o und x — od geltenden Reihenent- 

 wickelungen der Integrale der hypergeometrischen Differentialgleichungen gefol- 

 gert werden können. In der That hat die zur singulären Stelle x = o gehörige 

 determinirende Gleichung nach § 19 die Wurzeln — q u ---, — q,„, während die 

 zur Stelle x = oo gehörige Gleichung die Wurzeln tfj + i , • ■ • , (>„ -t- i besitzt. 

 Ist nun zuvörderst m = n, so ist die Gradzahl beider Gleichungen gleich der 

 Ordnungszahl der Differentialgleichung, so dass x = o und x = cc beide singu- 

 lare Stellen der Bestimmtheit sind. In diesem Falle drückt der Satz über 

 (P (x; c) offenbar nur Eigenschaften aus, die allen Integralen der Differential- 

 gleichung von O gemeinsam und aus den bezüglichen Reihenentwickelungen 

 ebenfalls ersichtlich sind. 



In allen den Fällen aber, wo m > n ist, (der Fall m < n braucht nach 

 § 19 nicht besonders erörtert zu werden) geben unsere Sätze einen Aufschluss 

 über das Verhalten der Functionen d> und w in der Nähe von x = cc , der 

 aus ihren Reihenentwickelungen gar nicht zu entnehmen ist. Ist nämlich m > n , 

 so können bekanntlich sämmtliche Integrale der Differentialgleichung 



d\ , / d* 



f[ x Tx)y =z ^[ x Tx) x y 



welcher Q> und '/-' genügen, durch gewöhnliche beständig convergirende Potenz- 

 reihen dargestellt werden. In dem einfachsten Falle, z. B., wo unter den 

 Wurzeln — ç lf • • ■ , — q,„ der zur singulären Stelle x = o gehörigen determi- 

 nirenden Gleichung f(g) = o keine zwei sich finden, deren Differenz eine 

 ganze Zahl ist, hat man für das allgemeine Integral der betreffenden Differen- 

 tialgleichung eine von Logarithmen freie Darstellung der Form 



( 1 26) x'- p > fc (*) + x - Q *y 2 (,.) + • ■ • + x- Q >" %„ (x) , 



wo die 'iß nach positiven ganzzahligen Potenzen von x fortschreitende, beständig 

 convergirende Potenzreihen bezeichnen, deren Anfangsglieder als unbestimmte 

 Constanten aufzufassen sind. 



Aus (126) geht nun zwar ebenfalls hervor, dass O und '/-' bei Annäherung 

 von x an die Stelle x = o auf die in den obigen Sätzen angegebene Weise 

 sich verhalten. Aus (126) ist dagegen gar nicht zu ersehen, dass die darin 

 enthaltenen Functionen W(x;c), die wir zunächst in Betracht nehmen wollen, 

 die bemerkenswerthe Eigenschaft besitzen, dass x k w(x;c), wie gross auch k 



