Gamma- und hypergeometrische Functionen. 77 



Wenn die Constanten q und (> die Bedingungen (125) erfüllen, so ist das 

 Integral '/-' (.<•; c) als specieller Fall in dem Integrale <l>(x;c) enthalten. Ob- 

 gleich nun die übrigen in enthaltenen Functionen mit wachsendem j x | sich 

 nicht gerade auf eine so bemerkenswerthe Weise verhalten, wie die Functionen 

 '/'', so sind sie doch in einer gewissen anderen Hinsicht ihrerseits bemerkens- 

 werther als die Functionen W, indem sie nämlich für grosse Werthe von x 

 durch divergirende Reihen asgmtotisch dargestellt werden können. Diese Aus- 

 drucksweise benutzt Herr Poincaré in seiner Arbeit Sur les intégrales irrégu- 

 lières des équations linéaires (Acta Math. Bd. 8). Es giebt also m. a. W. 

 divergirende Reihen, die zu den fraglichen Functionen in derselben eigenthüm- 

 lichen Beziehung stehen, wie die bekannte S-riRLiNGsche Reihe zu log r (x). 



Betrachtet man in der That die in § 24 mit Benutzung des CAucHYSchen 

 Satzes erhaltene Gleichung (114): 



(x; 1) = - ^ ^ S?+ Ö) (.r; c + v) , 



so geht die auf der rechten Seite befindliche Summe, wegen der Voraussetzung 

 m > n , für v = od in eine divergirende Reihenentwickelung über. Dies leuchtet 

 am leichtesten in dem Falle ein, wo die Differenz irgend zweier der Grössen 

 <s !,-■-, 6 n keine ganze Zahl ist. Alsdann haben die Residuen S die in (116) 

 angegebenen Werthe, so dass die obige Gleichung folgenderweise lautet: 



(x; c) = (z; c + "') + 



" \°* +1 ("—-V " '" 



tel X ' v - P =1 P=» 



wo (p (w) = cp (w, X) ist. Offenbar wächst der absolute Betrag des allgemeinen 

 Gliedes jeder dieser n Summen mit der Ordnungszahl v über jede endliche 

 Grenze, falls m > n ist. Bezeichnen wir nun die auf der rechten Seite ste- 

 hende Summe durch S v ^x), so gilt der Satz: Ist k eine beliebig grosse posi- 

 tive Zahl, so kann doch die positive ganze Zahl v so gross angenommen 

 werden, dass 



x k [0x;c)-S v '(x)} 



gegen die Null convergirt, wofern x innerhalb des Gültigkeitsbereiches von 

 (x; c) der Stelle x — 00 ohne Ende genähert wird. Denn wird v so gross 



