Gamma- und hypergeometrische Functionen. 79 



27. 



Die im ersten und in diesem Abschnitte dargestellten Untersuchungen 

 erhalten einen gewissen Abschluss, wenn man sich davon überzeugt, dass die 

 in der Form ü> (x; c) erhaltenen Integrale der hypergeometrischen Differential- 

 gleichungen auch die einzigen Integrale derselben sind, welche für unendlich 

 grosse und unendlich kleine Werthe von x sich ebenso verhalten, wie der aus 

 der Ungleichheit (69) gefolgerte Satz in jedem besonderen Falle besagt, falls 

 derselbe auf die in § 26 auseinandergesetzte Weise benutzt wird. Nehmen 

 wir insbesondere die in den vorangehenden §§ vorzugsweise erörterten Functio- 

 nen in Betracht, so hat man folgende Sätze. 



Erfüllen die Constanten q und der Differentialgleichung 



(*S+«0-(*|+^lf = (-ir +i (.|+«r.)-(«é + ^.!r 



die Bedingungen 



Qi<Q 2 <;- ■<Q m <a 1 < ff 2 <;...<; CT,, , 



und ist y ein Integral derselben, welches die beiden Eigenschaften lim »•*'?/ =0 



und lim x k y = o besitzt, falls k einen beliebigen, dem Parallelstreifen ç m <k<6 l 



ungehörigen Werth bezeichnet, so liisst sich x auf die Form (92), O (x; c), 

 bringen. 



Weiss man von einem Integrale y der Differentialgleichung (123) 



wo m>n ist, dass x 1 y , tvie gross auch k sei, bei Annäherung von x an die 

 Stelle x = + 00 gegen die Null convergirt, so lässt sieh y auf die Form (121), 

 'I'(x;c), bringen. 



Aus § 24 meiner Arbeit Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen 

 erster Ordnung (Acta Math. Bd. 15) kann man finden, in welcher Weise diese 

 und ähnliche Sätze bewiesen werden können. Daselbst findet sich nämlich ein 

 Beweis für den letzteren der obigen Sätze *). Setzt man die am Schluss des 

 § 29 hervorzuhebenden Sätze als bekannt voraus, so gestalten sich die Beweise 

 solcher Sätze noch einfacher. 



') Die daselbst auf Seite 382 befindliche Uugleichheit nmss (olgenderweise lauten: 



r 



