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In § 22 sind zwei ziemlich allgemeine Fälle hervorgehoben worden, wo 

 die allgemeinen Integrale der betreffenden hypergeometrischen Differentialglei- 

 chungen mit Hülfe der Gammafunction in der Form eines bestimmten, durch 

 tf> (x; c) bezeichneten Integrals dargestellt werden können. Sehen wir aber von 

 diesen Fällen ab, so ist die Anzahl der in tf> (x; c) enthaltenen, linear un- 

 abhängigen Integrale stets kleiner als die Ordnungszahl der zugehörigen 

 Differentialgleichung. Im folgenden Abschnitte wird sich aber ergeben, dass 

 das allgemeine Integral einer jeden hypergeometrischen Differentialgleichung 

 durch ein bestimmtes, über Gammafunctionen ausgedehntes Integral sich 

 darstellen lässt, falls als Integrations weg, statt einer geraden Linie, eine zweck- 

 mässig gewählte Curve oder, noch einfacher, eine gebrochene Linie benutzt 

 wird. 



28. 



In § 14 ergab sich der folgende Satz: Wird die Veränderliche s = Ç+iÇ 

 auf einen beliebigen, zur imaginären Axe parallelen Streifen (u < f < ß) be- 

 schränkt, wo G (,?) cp (#, X), (X — p — i oder =p — 2), sich überall regulär ver- 

 hält, so ist 



(127) G (*) if (*, X) = (V" : ^ . J G («0 if (« , X) x- d w=Cm (x, c) a?' 1 dx , 



O c-JOO 



wofern der Integrationsweg u = c demselben Streifen (« <; c <. ß) ebenfalls an- 

 gehört. Durch diesen Satz, der übrigens auch eine weit allgemeinere Gültigkeit 

 besitzt (§ 14 Anm.), wird eine grosse Menge bestimmter, über hypergeometri- 

 sche Functionen (x; c) gebildeter Integrale auf die Gammafunction zurück- 

 geführt. Das bestimmte Integral ti> (x; c) ist von der Lage seines Integrations- 

 weges n = c in der Weise abhängig, wie die Gleichung (70) des § 14 näher 

 angiebt. Für verschiedene Werthe von c stellt demnach (D (x ; c) auch im 

 Allgemeinen verschiedene analytische Functionen von x dar. Gehört q>(x;c) 

 zu einem Streifen (« <: c <; ß), dessen Breite mindestens gleich Eins ist, so ge- 

 nügt dasselbe einer homogenen hypergeometrischen Differentialgleichung. An- 

 dernfalls genügt <Z> zwar noch einer hypergeometrischen Gleichung, die aber 

 im Allgemeinen nicht homogen ist, indem sie gewisse Potenzen von x als Glie- 

 der enthält, die auch mit Logarithmen behaftet sein können. (Man beachte 

 die Gleichungen (70) und (118)). 



Wie die hypergeometrischen Functionen <I> (x; c) durch Integration von 

 Gammafunctionen erzeugt werden, wobei die Veränderliche x unter dem Inte- 



