Gamma- um/ hypergeometrische Functionen. Sl 



gralzeichen als Parameter benutzt wird, so zeigt die Gleichung (127). dass auch 

 ungekehrt die Gammafunctionen G (*) <p (z , X) durch Integration eben dieser 

 hypergeometrischen Functionen erzeugt werden, falls die Veränderliche s in 

 angeführter Weise als Parameter benutzt wird. 



Die Grenzen x = o und x — 00 des Integrals (127) sind jedenfalls singu- 

 lare Stellen der Differentialgleichung, welcher d> (x; c) Genüge leistet. Ist m — n, 

 so hat diese Gleichung noch eine singulare Stelle im Punkte x = (- i) m+x . Sind 

 nun im Falle m — n gewisse Bedingungen hinsichtlich der Constanten q und 6 

 der fraglichen Differentialgleichung erfüllt und ist x = +i singulare Stelle der- 

 selben, so hat die Gleichung ein particuläres, zur Wurzel q = — k— 1 der de- 

 terminirenden Gleichung q (q - 1) • •• (q — n + 2) (q + » + 1) = o gehöriges Inte- 

 gral, welches, mit af -1 multiplient und zwischen den Grenzen x = o und x = 1 

 oder auch zwischen x = 1 und x = 00 integrirt, durch Gammafunctionen aus- 

 gedrückt werden kann. Dies soll hier nachgewiesen werden. 



In diesem Zusammenhange verdient zunächst als allgemeine, diesen ganzen 

 Abschnitt betreffende Bemerkung hervorgehoben zu werden, dass wir hier nicht 

 sämmtliche, im ersten Abschnitte charakterisirte Functionen benutzt haben, die 

 eine Integration längs einer unbegrenzten, zur imaginären Axe parallelen Ge- 

 raden gestatten. Nur die in den Ausdrücken (41)? (42) enthaltenen Gamma- 

 functionen sind bisher in Betracht genommen worden, d. h. nur diejenigen 

 Functionen des ersten Abschnittes, welche die Eigenschaft lim z lc F (z) = o , 



(«<£<ß) besitzen, wie gross auch k sei. (Man siehe die in § 12 gegebene 

 Übersicht). Nun ist der Ausdruck (41) aus dem in § 1 befindlichen ersteren 

 Ausdrucke (8) dadurch erhalten, dass die unbestimmten Constanten A von 

 G(z)(p(z,p) nicht nur im Falle, wo m + n eine ungerade Zahl ist (§ 5), 

 sondern auch im Falle, wo m + n eine gerade Zahl ist, solchen Beschränkungen 

 (16) unterworfen worden sind, dass 0(^)cp(^,^) sich in G (s) y (z.p — 2) 

 verwandelte. Der ursprüngliche Ausdruck G(z)(p(z,p>) — dessen Verhalten 

 für unendlich grosse, einem beliebigen zur imaginären Axe parallelen Streifen 

 angehörige Werthe s der Ausdruck (22) angiebt, falls m + » gerade ist 

 kann aber, wie aus (22) nicht schwer zu finden ist und im Folgenden in einem 

 besonderen Falle gezeigt wird, unter gewissen Voraussetzungen hinsichtlich der 

 Grösse •/. und der Lage des in Betracht genommenen Parallelstreifens in der- 

 selben Weise behandelt werden, wie es in den §§ 13 und 14 mit den Aus- 

 drücken G (z) (p (z,p — 2) und G(#) <p(z,p — 1) geschehen ist. Ein wichtiger 

 Unterschied zeigt sich indessen, indem die zugehörigen Integrale <l> (x; c) nur 

 für reelle positive Werthe von x einen Sinn haben, weshalb sie auch nicht von 



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