Gamma- und hypergeometrische Functionen. 83 



Hier, wie auch im Nachstehenden, wird das Ungleichheitszeichen in dem in 

 § 12 angegebenen Sinne gebraucht. Es wird sich nun ergehen, dass Q (Y), 

 als Function von z betrachtet, identisch verschwindet. Da nämlich der Inte- 

 grationsweg u —- b von Q beliebig weit in der Richtung der unendlich grossen 

 positiven Zahlen parallel zu sich selbst verschoben werden kann, ohne dass Q 

 sich dadurch verändert, so hat man 



b+k + i<X> b + i<X> 



tW 2sti J w — s 2m J w + k — 2 



b+k— i 00 b — i 00 



Bezeichnet k eine positive ganze Zahl, so ist vermöge der Gleichungen (76), 

 (78): 



F(w + k) = F(w) (^)* f (L) f (^)... f ( ' 



w j ' \wj'\w+l) '\w + k-ij' 



wo f(~) die in § 15 angegebene Bedeutung hat. Da k<o ist, so ergiebt 

 sich hieraus leicht die Richtigkeit unserer Behauptung. 



Somit wird F (V) = P (2). In dieser Gleichung ist während des Laufes 

 der Integration 2 — w > o , so dass 



1 



s - w J 



o 



gesetzt werden kann. Führt man dieses Integral in I J ein, so ergiebt sich 

 durch Umkehrung der Integrationsordnung 



1 «+100 



(128) ff-»>-%-fl - 1>* "'• f r r { r 9 À'" r r { r H ■ - <<»■ ■ 



r(2 — <t 1 )...r(g — (t H ) j 23t 1 j r(w — (f i )---r(w — (f„) 



O a— « co 



Die Bedingungen, unter denen diese Gleichung besteht, sind: dassx< — 1 ist 1 ), 

 dass a algebraisch grösser als die reellen Theile von q 1: -- ■ , g„ ist und, dass 

 sclüiesslich s > a ist. 

 Das Integral 



(129) ^T r r { r Q À'''rt~ QH \ ^ ''" (* < - 



2sti j r(w — o^) • • • r(w — a„) K 



a — »oo 



') Damit das Integral, wo w Integrationsvariable ist. unbedingt convergire, ist es nöthig 

 anzunehmen, dass x nicht nur <0 sondern auch < — 1 ist. Sonst ist schon x<0 eine hin- 

 reichende Bedingung dafür, dass das Integral einen Sinn habe. 



