Gamma- und hypergeometrische Functionen. 85 



hat ebenfalls nur für reelle positive Werthe ven x einen bestimmten Sinn. Wie 

 sieh an der Hand des § 14 ergiebt, genügt dasselbe ebenfalls der oben ange- 

 führten Differentialgleichung. 



Es Hesse sich zeigen, dass die Integrale (129) und (131) beide zur Wurzel 

 q = — k — 1 der determinirenden Gleichung q (q — 1) • • • (9 — n + 2) ((> + »+ 1) =0 

 gehören, so dass sie höchstens um einen Constanten Factor differiren können. 



Als Beispiel möge der Fall genommen werden, wo n = 1 ist. Mit Benut- 

 zung des CAUCHYschen Satzes erhält man in diesem Falle für die Integrale 

 (129) und (131) die resp. Reihenentwickelungen 



« + ÏOO CO 



J_ Ç r(,c-o ) _ y ( -«)" _ _ _jr±_ (l _ x) 9-a-l 



2*riJ r(u--o-) aw-x 2u\vJ (q - a - v)~ r (q - a) {l x) 



a—i 00 V=0 



1 +6<Q<a; 



irrt J 



0+1 JL (—-V rh c+I , pP-s-i 



r(i+o-n-) x '[,:) Z\vr(ç-a-v)-r( Q ~a) n 



b,—iao l' = 



b Y <a + 1 <Q . 



Die Gleichungen (128) und (130) gehen somit resp. in die folgenden über: 

 r( s -a) = r(Q—<s)J x ' * (1 "" x ^ dx ' 



tU*^ = n^Ä ff 1 PI 1 - T"" *- • 



r ( 1 + ç - .) r<> - tf)j \;z/ ^ a;/ 



1 



Diese bekannten Gleichungen, wodurch das EuLEKsche Integral erster Gattung 

 auf die Gammafunction zurückgeführt wird, sind also die einfachsten speciellen 

 Fälle der Gleichungen (128) und (130). 



