Gamma- und hypergeometrische Functionen. 87 



meter enthalt, in gewissen Fällen verschiedene monogene Functionen von s 

 darstellen kann, je nachdem der Parameter verschiedenen Gebieten der z-Ebene 

 angehört, hat bekanntlich zuerst. Herr Hkrmtte die Aufmerksamkeit der Ma- 

 thematiker gelenkt ] ). 



Die vorliegende Arbeit schliesst sich hinsichtlich der Art und Weise, 

 worauf der CAtrcHTSche Satz hier benutzt wird, an eine im 105. Bande des 

 CRELLEschen Journals von Kroneckee publicirte Arbeit an, welche den Titel 

 hat: Bemerkungen über die Darstellung von Reihen durch Integrale. Indem 

 ich auf jene Schrift verweise, worin zugleich werthvolle litterarische Bemer- 

 kungen eingestreut sind, führe ich hier nur die allgemeine Form der daselbst 

 betrachteten Integrale an. Bezeichnet f{z) irgend eine Function von z ■ = £ 4- ig, 

 welche sich in einem, die reelle Axe einschliessenden Streifen regulär verhält 

 und sich bei wachsenden Werthen von £ j der Null nähert, so ist 



/.-=-4-00 



(J5) £ /'(A) = 2 ^.f^cot8^- /■(,-) r?:, 



„vorausgesetzt, dass die Reihe auf der linken Seite convergirt, und dass die 

 Integration auf der rechten Seite über die Umgrenzung jenes Streifens erstreckt 

 wird". Die im IV. Heft desselben Bandes abgedruckte Fortsetzung der Schrift 

 fängt mit den Worte an: „Auch die Integration der Function n cotgjr sf(z) 

 längs zweier der Ordinatenaxe parallelen Linien ergiebt, wie oben in der 

 Gleichung (B) die Integration längs zweier der Abscissenaxe parallelen Linien, 

 eine Darstellung von Reihen durch Integrale. Aber die beiden Darstellungen 

 sind von wesentlich verschiedener Art". 



Zwischen den linearen Differential- und Differenzengleichungen besteht be- 

 kanntlich ein Zusammenhang, der nicht nur formaler, sondern auch innerer Art 

 ist. Laplace bemerkte 2 ), dass ein bestimmtes Integral der Form 



(132) F(*)=f0(x)ar 1 di, 



wofern d> eine homogene lineare Differentialgleichung mit in Bezug auf x ra- 

 tionalen Coefficienten befriedigt, unter gewissen Voraussetzungen einer homoge- 

 nen linearen Differenzengleichung mit in Bezug auf s rationalen Coefficienten 

 Genüge leistet. In neuester Zeit hat Herr Pincherle gezeigt 3 ), dass dieser 



') Sur quelques points de la théorie des fonctions. Acta Soc. Sc. Fenn. Tom. XII. 1881. 

 -1 Theorie analytique des probabilités. 



3 ) Sopra una trasformazione delle equazioni differenziali lineari in equazioni alle difterenze, 

 e viceversa, Xuta, letta al R. Istituto Lombardo nell'adunanza dt-1 17 gingno 1886. 



